1654年（1）

2013-10-14 13:09:50

　　布莱斯-帕斯卡（1623年6月19日──1662年8月19日）出版了《论算术三角形》（Traité du triangle arithmétique avec quelques autres petits traités sur la měme matière）。同年，与皮埃尔-费马（1601年8月17日──1665年1月12日）写就《与费马在概率理论方面的通信集》（Correspondence with Fermat on the Theory of Probabilities），见《西方世界的伟大著作：帕斯卡篇》（Great Books of the Western World：Pascal）（Franklin Library，1984），pp.447~487。

　　帕斯卡三角形、概率论、点数问题、帕斯卡赌注

　　最早对组合问题的研究似乎始于印度1。大约在公元1150年，婆什迦罗就认识到了从j个数中取出n个数的组合数为n!/［j!（n－j）!］。早在1265年，阿拉伯数学家图西就知道了二项展开式（a+b）n的系数计算以及如何在三角形中排列展开式系数。中国数学家朱世杰1303年出版的《四元玉鉴》也讲述了二项展开式的计算，该书的扉页后来广为流传。法国的马林-梅森（1588──1648）在1636年就懂得了组合恒等式与展开式系数之间的对等关系。

　　帕斯卡虽然不是算术三角形的发明者，但他首次著文将组合数学、二项展开式系数与三角形阵列这三者联系起来。由于帕斯卡对三角形的特征进行了详细深入的探讨，因而从此以后人们将三角形阵列称为帕斯卡三角形。值得指出的是，在论述算术三角形以及点数问题时，帕斯卡并没有直接使用现代概率学的概念，甚至没有用过概率一词。相反，他用的是组合数学语言，比如在多次试验中某某事件发生多少次。因此，后文其实是我用现代化的语言对帕斯卡的研究进行的重新表述。

　　帕斯卡三角形以1作为首行开始，接下来各行的每位数字等于上一行位于它上方两个数字的和。

　　帕斯卡指出，三角形具有许多令人惊讶的特征。例如，如果把首行称为第0行，那么第n行的数字正是二项展开式（a+b）n的系数。而第n行左手从0开始第j个数值正好等于n!/［j!（n－j）!］。

　　点数问题对概率论的发展至关重要，尤其是运用到机遇游戏（投资）中。我们回忆一下该问题的基本形式。两人各下一定赌注，谁先赢到n点谁赢得赌注。每得一点都能获得一定奖励，而每轮两人输赢的概率是一样的。如果当第一个人赢得x
　　帕乔利（1494）曾提出，假定两人各下注28个金币，n＝6，且两人的点数为（x，y）=（5，3），此时比赛叫停。帕乔利认为，最公平的分法就是按照两人所得点数的比例分配金币。在这里，金币总数为56个，那么第一个人分得35个金币，第二个人分得21个金币。意大利数学家卡当，亦即有名的罗拉莫-卡达诺（1501年9月24日──1576年9月21日）曾在1663年出版《论机遇赌博》（Liber de ludo aleae）。后来亨利-古尔德提出了一个更复杂的解决办法。（见《机会赌博之书》（The Book of Games of Chance），纽约，1961年。）他认为应该按照还没有结束的新比赛的结果来分配赌注。以帕乔利的例子来说，我们可以设想一个A和B两人的新比赛。如果在B赢得3点之前，A先赢得1分，则A赢；否则，B赢。那么在这个新游戏中，两人各自对赌注的贡献是多少？卡当总结说，A投入3×（3＋1）＝12个金币，B投入1×（1＋1）＝2个金币。这样，如果初始赌注为56个金币，那么A应该得到56×（12/14）=48个金币，而B得到56×（2/14）=8个金币。

　　帕斯卡三角形

　　帕斯卡三角形说明了二项树中的再组合问题，在二项树每一个节点的数字等于上一排两个节点数字之和。更为一般的非再组合二项树最早由波菲利（大约在公元234──305）推广开来。他是新柏拉图派哲学家，在他的著作《范畴导论》（Introduction to the Categories）中用二项树说明了亚里士多德在范畴方面的逻辑论点。在帕斯卡三角形中的数字关系的数量开始是无穷尽的。甚至斐波纳契数列也包含在其中。你是否能发现呢？从左边开始，把一直延伸到右上角的对角线上的数字相加。那么就有：1=1，1+1=2，1+2=3，1+3+1=5，1+4+3=8，以此类推。

　　帕乔利和卡达诺的方法都不正确。该问题最终在帕斯卡与费马的一次著名通信（1654年）中得到解决，此次通信被认为是现代概率论的发端。他们提出了数学期望的思想并假定每位参与者获得的金币为倘若比赛尚未结束的情况下他们各自能得到的金币期望值。

　　费马的方法只需要数数A能获胜的方法或路径个数以及B能获胜的路径数。

本文摘自《投资思想史》

　　当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。