概率与信息推断（6）

    　　假设你是一个男孩，而上帝在你20～30岁之间安排了20位适合你的女孩。这些女孩都愿意作为你的伴侣，但你只能选择其中的一位。对于你来说，这20位女孩的质量是可以排序的，也就是说事后你可以对她们的质量排名，排名第一的对你来说就是最好的，排名第二十的对你来说就是最差的。可惜的是，由于20位女孩不是同时出现在你的生命中，而是按时间先后出现，每出现一个你都要决定是留下或拒绝她。如果留下她，她就会成为你的伴侣，你将再没有权利选择后面的女孩；如果拒绝她，你还可以选择后面的女孩，但对前面已经拒绝的女孩将没有机会从头再来。

    　　20位女孩的排名虽然可以在事后确定，但是在观察完20位女孩之前，你并不知道全部女孩的排名，你只知道已经观察过的女孩中谁比谁更好。而且，上帝是完全随机地安排每个时间段出现的女孩，即出现时间的先后与女孩的质量完全没有关系。那么，你应该在什么时候决定接受一位女孩，并且使得被接受的那位女孩属于最好女孩的概率最大呢？

    　　当然，你可以采取与候车模型中"随便"策略类似的做法，抓阄来任意选定一位女孩。如果你这样做，那么你有5%的可能性获得最好的女孩。概率比较小，很难发生。

    　　另一种看来复杂一点的策略是：把全部女孩分成前后两段，最先出现的10位均不接受，但了解了这10位女孩的质量，然后在后来出现的10位女孩当中，第一次碰到比以前都可爱的女孩，就立刻接受。这就是"等一等、看一看"的策略。在这样的策略中，你得到最好女孩的概率似乎是(10/20)×(10/19)=0.263。这个概率已经不算太小。补充说明一下此策略中概率的算法：在这样的规则下，确保得到最好的女孩必然要求最好的女孩在后10名女孩中出现-否则你怎么也得不到最好的了-其概率是10/20，同时，还要求第二好的女孩出现在前10名，其概率为10/19-为什么是10/19？因为除了最好的，剩下人数为19个，第二好的女孩出现在前10名的概率就是10/19-这样就确保了你会得到最好的女孩。

    　　但是，这个策略得到最好女孩的概率真的是0.263吗？可能不是，因为这只是第二好的女孩刚好出现在前10位的情况；实际上，即使第二好的女孩没有出现在先前的10位，但只要在最好的女孩出现之前的所有女孩中质量最高的出现在前10位，那么该策略也可确保得到最好的女孩（这一点要想通，否则就难以明白接下来的内容）。也就是说，该策略获得最好女孩的概率实际上是超过0.263的（我们很快会发现这个概率应是0.3594。哇！这的确已经是一个不小的概率了）。

    　　但是，还有更好的方法吗？或者我们可以问，放弃先出现的10位女孩是否是最优的？如果不是，那么应该放弃几位先出现的女孩呢？

    　　幸运的是，我们的确有更好的策略（你应该先把前面的内容看懂，如果前面没看懂，下面可能就更看不懂了）。既然20位质量不同的女孩其质量在你生命里是随机出现的，没有任何规律，那么，第k个女孩刚好是最好女孩的概率是1/20，而刚好把这个最好的女孩选择到的概率是多少？对此的考虑应该是：既然给定了第k个女孩质量最好，而我们决定放弃前面n－1位女孩，从第n位开始执行前述策略的规则（第一次碰到比以前都可爱的女孩，就立刻接受），那么必须要求在k之前的女孩中质量排名最高的那个必须出现前n－1位女孩中，这样才能确保k被选中，其概率就是(n－1)/(k－1)。从而第k个女孩刚好是最好的女孩而且又一定被选中的概率就是(1/20)×(n－1)/(k－1)。这里，k的取值范围显然应该是[n,20]中的整数。所以，放弃n－1位女孩而一定会得到最可爱的那位女孩的概率实际上就是

    　　这个概率可以用Mathematica软件来计算，或者用Excel来计算也可以，读者会发现，当n*=8时，该概率有最大值0.3842。也就是说，如果我们放弃前7位女孩，先看一看，心里有个谱，然后只要看到比前7位女孩中最好的还要好的女孩，那么我们就立即选择接受。而这位被接受的女孩刚好属于最好女孩的概率是0.3842。这比我们放弃10位女孩（n*=11）的策略要好，该策略根据上述公式计算得出获得最好女孩的概率为0.3594。

    　　我们用Mathematica软件绘出获得最好女孩的概率图形（纵轴是概率，横轴表示从第几位开始认真考虑接受。最大概率出现在n*=8，即放弃前7位，从第8位开始认真考虑接受，见图2-2）。

本文摘自《有限信息下的生存智慧》

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　　 全书用通俗易懂的语言，结合来自经济、政治、历史和日常生活中的大量例子，生动地展示了在不完全信息局势下个人如何做出最优的决策。包括如何在不确定环境中决策（与上帝博弈），如何在博弈中操纵信息（信号传递、信号干扰、信息隐藏），如何设计机制去探测对手的类型（信息甄别）。