我们可将随机过程分为两种类型。第一种是那些一个事件到下一个事件的概率陈述固定不变的事件。我们将这些称为独立试验过程或放回抽样。掷硬币就是这种随机过程的一个例子。不管前一次抛掷的结果如何，每次抛掷的概率都是50/50。即使前5次抛硬币都出现正面，再抛一次硬币出现正面的概率并不受影响，仍然是0.5。
在另一种随机过程中，事件的概率陈述必然受到前一事件结果的影响，自然，一个事件到下一个事件的概率陈述不是固定不变的。这种类型的事件被称为条件试验过程或不放回抽样（samplingwithoutreplacement）。二十一点牌戏就是这种随机过程的一个例子。一旦出过一张牌，这副牌的组成在抽下一张牌时就与抽上一张牌时不同。假定一副新牌已经洗过并拿走一张牌，比方说，拿走的是方块A。在拿走这张牌之前，抽出一张A的概率是4/52或0.07692307692。既然已经从这副牌中抽出一张A而且不放回，那么，下一次抽出一张A的概率就是3/51或0.5882352941。
有些人认为，上面这样的条件试验过程实际上并非随机事件。尽管如此，为了我们讨论问题，我们假定它们是随机事件----因为事件的结果仍然无法预先知道。最好的做法就是把结果简化为概率陈述。设法将独立试验过程和条件试验过程之间的区别考虑为仅仅在于，根据前面的结果，一个事件到下一个事件的概率陈述是固定的（独立试验）还是可变的（条件试验）。实际上，这是它们之间唯一的区别。
任何事件都可以简化为概率陈述。从数学的观点来看，结果可以在事实之前知道的事件与随机事件的区别仅仅在于其概率陈述等于1。例如，假定从一副52张的牌中拿走51张牌，而且你知道拿走的是哪些牌。因此，你知道剩下的那张牌是什么的概率为1（确定性）。现在，我们要讨论独立试验过程，尤其是简单的抛掷硬币。
数学期望（MATHEMATICALEXPECTATION）
在这个问题上，我们需要理解数学期望的概念。数学期望有时也称为游戏者胜出（对游戏者来说期望为正）或庄家占优（对游戏者来说期望为负）。
数学期望=（1+A）*P-1
其中，P=赢的概率
A=可能赢得的金额/可能输掉的金额
因此，如果你正要抛掷一枚硬币，出现正面你会赢得2美元，但出现反面你会输掉1美元，每抛一次的数学期望为：
数学期望=（1+2）*0.5-1
=3*0.5-1
=1.5-1
=0.5
换句话说，每抛一次硬币你预期平均赢得50美分。
这个刚刚描述的公式给出了有两种可能结果的事件的数学期望。有两种以上可能结果的条件下又当如何？下面的公式将给出结果为无限可能情况下的数学期望。它也能给出只有两种可能结果的事件（比如刚才描述的2对1抛硬币）的数学期望。因此，这个公式是优先的。
数学期望=
其中，P=赢或输的概率
A=赢或输的金额
N=可能结果的数目
数学期望的计算是将每种可能的赢或输的金额分别与赢或输的概率相乘，然后对乘积求和。
现在，我们来看在更复杂的新公式中2对1掷硬币的数学期望：
数学期望=（0.5*2）+（0.5*（-1））
=1+（-0.5）
=0.5
当然，在这个例子中，你的数学期望是每抛一次平均赢得50美分。
假定你在玩一种游戏，你必须猜中三个不同数字中的一个。每个数字出现的概率相同（0.33），但是，如果你猜中其中一个数字，你会输掉1美元，如果你猜中另一个数字，你会输掉2美元，如果你猜中正确的数字，你会赢得3美元。这种给定情况的数学期望（ME）为：
ME=（0.33*（-1））+（0.33*（-2））+（0.33*3）
=-0.33-0.66+0.99
=0
考虑对轮盘赌中的一个数字下注，你的数学期望为：
ME=（（1/38）*35）+（（37/38）*（-1））
=（0.02631578947*35）+（0.9736842105*（-1））
=（0.9210526315）+（-0.9736842105）
=-0.05263157903
如果你对轮盘赌（Americandouble-zero，美国加倍-零式轮盘赌）中一个数字下注1美元，每转一次你预期平均输掉5.26美分。如果你下注5美元，每转一次你预期平均输掉26.3美分。注意：尽管以数量表示的不同的下注数量具有不同数学期望，但是，以数量的百分数表示的下注数量的数学期望总是相同的。
游戏者对一系列下注的数学期望是单个下注的数学期望之和。因此，如果你在轮盘赌中对一个数字赌1美元，然后，对一个数字赌10美元，然后，对一个数字赌5美元，那么，你的总期望为：
ME=（-0.0526*1）+（-0.0526*10）+（-0.0526*5）
=-0.0526-0.526-0.263
=-0.8416
因此，你预期平均输掉84.16美分。
这个原理解释了为什么在赢或输的金额已知时（假定为独立试验过程），试图改变下注规模的系统是注定要失败的。负期望赌注的总和总是负的期望！
实值序列、可能结果及正态分布（EXACTSEQUENCES，POSSIBLEOUTCOMES，ANDTHENORMALDISTRIBUTION）
我们已经看到，抛一枚硬币给出两种可能结果（正面或反面）的概率陈述。我们的数学期望是这些可能结果的总和。现在，我们抛两枚硬币。可能结果如下表：
硬币一硬币二概率
正正0.25
正反0.25
反正0.25
反反0.25
这也可以表示为有25%的机会得到两个正面，25%的机会得到两个反面，50%的机会得到一个正面一个反面。以表格形式表示为：
组合概率
二正零反0.25*
一正一反0.50**
零正二反0.25*
右边的星号说明可以有多少种不同的组合方式。例如，在上面抛两枚硬币时，一正一反有两个星号，因为有两种不同的方式可以得到这种组合。硬币A可以为正面硬币B可以为反面，或者与此相反，硬币A为反面，硬币B为正面。表格中星号的总数就是在抛那么多硬币（两枚）时，你可以得到的不同组合的总数。
如果抛三枚硬币，我们会有：
组合概率
三正零反0.125*
两正一反0.375***
一正两反0.375***
零正三反0.125*
对于四枚硬币：
组合概率
四正零反0.0625*
三正一反0.25****
二正二反0.375*******
一正三反0.25****
零正四反0.0625*
对于六枚硬币：
组合概率
六正零反0.0156*
五正一反0.0937******
四正二反0.2344***************
三正三反0.3125********************
二正四反0.2344***************
一正五反0.0937******
零正六反0.0156*
这里要注意：如果我们把星号作为纵轴绘制成曲线，我们就得出大家熟悉的钟形曲线，也称为正态分布或高斯分布（见图1-1）。
图1-1正态概率函数
最后，对于十枚硬币：
组合概率
十正零反0.001*