1、一些必要的参数
一个可重复的风险游戏，包含以下预设的常数，在模型中，它们是不变的：单笔赢利/损失比率R（不用风险/收益比，容易引起误会）、赢率P。为了简化问题，假设R＞1且P＞0.5。这是为了使模型产生正期望的结果，但这是其充分条件而非必要条件，如果需要，完全可以放松这个约束。
除此之外，还有一个预设的条件：原有资本为1，如果资本一旦低于常数x（0 游戏中的变量包括：每局以现有资本的固定比率a（0 需要说明一下，a并不是衡量风险的参数。在本模型中，风险与收益都是衍生出的概念。 2、预先的讨论：局限条件x的影响 如果我们将局限条件x做一点点修改，我们就可以从一个新的角度看待整个问题。局限条件是一个“硬”约束，资本额一旦触及x这条水平线，就无条件地被强制停止交易。我们将它改成一个稍微“软”一点的约束。 假设交易员的资金全部是投资者提供的，如果资本额达到或低于x的水平，则投资者有权是否要求交易员停止运作并按x偿还资金。也就是说，投资者在一个资金管理协议上附加了一个美式“选择权”，而交易员的约束即是他“写”出了一张美式选择权。 我们再将它与包含一个卖权的债券做个类比。一个含有卖权的债券在一个普通债券的基础附加了一个条件：当债券的价格低于一个预先设定的价格时，购买债券的投资者有权要求债券发行人有权要求以此价格偿付债券。债券的价值等于无内含选择权债券的价值减去内含的选择权的价值。 从一个美式选择权的角度来重新看待以上的一些参数：游戏局数或交易次数n其实就是时间T；每笔交易所动用的资本比例a与R一齐代表了波动率；x则是strikeprice。不过，一般的选择权向上或向下的概率都是50%，但在我们这里则很可能不是对称的。而且，我们不考虑资金的时间成本。 对交易员来说，硬约束与选择权约束不同的地方在哪里呢？在给一个美式选择权定价的时候，在二叉树模型中是从后倒推至时间起点，但硬约束下的问题不用这么麻烦，直观得多了。事实上，从交易员的角度看，两者没有多大区别：如果硬约束损害了他的利益，这部分的利益大约等于选择权的价值。在后面的问题中，我们也可将约束条件理解为一个选择权。 三、路径 任何一个局游戏就是二叉树图中的一个结点。在任何一个结点，资本有等于P的可能会增长，乘以因数(1+a)R；有等于(1-P)的可能减少，乘以因数(1-a)。从0到n，就可以构建一个完整的二叉树图了。不过，向上和向下的概率不一定相等，画二叉树图还是有点复杂了。我们要把问题简化到象数123一样简单。 对于每一个a(0 这样，我们就得到了足够多的表示资本金变化的路径。想象一下，将每一条路径都画在图上，水平轴是结点n，是个什么样子，它是对称的吗？（哈哈，画出来还是一个二叉树图，因为很多路径的很多部分重合了）。后面的就是算术加一些空间想象力。 1、一些必要的参数 一个可重复的风险游戏，包含以下预设的常数，在模型中，它们是不变的：单笔赢利/损失比率R（不用风险/收益比，容易引起误会）、赢率P。为了简化问题，假设R＞1且P＞0.5。这是为了使模型产生正期望的结果，但这是其充分条件而非必要条件，如果需要，完全可以放松这个约束。 除此之外，还有一个预设的条件：原有资本为1，如果资本一旦低于常数x（0 游戏中的变量包括：每局以现有资本的固定比率a（0 需要说明一下，a并不是衡量风险的参数。在本模型中，风险与收益都是衍生出的概念。 2、预先的讨论：局限条件x的影响 如果我们将局限条件x做一点点修改，我们就可以从一个新的角度看待整个问题。局限条件是一个“硬”约束，资本额一旦触及x这条水平线，就无条件地被强制停止交易。我们将它改成一个稍微“软”一点的约束。 假设交易员的资金全部是投资者提供的，如果资本额达到或低于x的水平，则投资者有权是否要求交易员停止运作并按x偿还资金。也就是说，投资者在一个资金管理协议上附加了一个美式“选择权”，而交易员的约束即是他“写”出了一张美式选择权。 我们再将它与包含一个卖权的债券做个类比。一个含有卖权的债券在一个普通债券的基础附加了一个条件：当债券的价格低于一个预先设定的价格时，购买债券的投资者有权要求债券发行人有权要求以此价格偿付债券。债券的价值等于无内含选择权债券的价值减去内含的选择权的价值。 从一个美式选择权的角度来重新看待以上的一些参数：游戏局数或交易次数n其实就是时间T；每笔交易所动用的资本比例a与R一齐代表了波动率；x则是strikeprice。不过，一般的选择权向上或向下的概率都是50%，但在我们这里则很可能不是对称的。而且，我们不考虑资金的时间成本。 对交易员来说，硬约束与选择权约束不同的地方在哪里呢？在给一个美式选择权定价的时候，在二叉树模型中是从后倒推至时间起点，但硬约束下的问题不用这么麻烦，直观得多了。事实上，从交易员的角度看，两者没有多大区别：如果硬约束损害了他的利益，这部分的利益大约等于选择权的价值。在后面的问题中，我们也可将约束条件理解为一个选择权。 三、路径 任何一个局游戏就是二叉树图中的一个结点。在任何一个结点，资本有等于P的可能会增长，乘以因数(1+a)R；有等于(1-P)的可能减少，乘以因数(1-a)。从0到n，就可以构建一个完整的二叉树图了。不过，向上和向下的概率不一定相等，画二叉树图还是有点复杂了。我们要把问题简化到象数123一样简单。 对于每一个a(0 这样，我们就得到了足够多的表示资本金变化的路径。想象一下，将每一条路径都画在图上，水平轴是结点n，是个什么样子，它是对称的吗？（哈哈，画出来还是一个二叉树图，因为很多路径的很多部分重合了）。后面的就是算术加一些空间想象力。