用频数分布汇总数据（3）

2013-10-19 19:39:57

　　累积相对频数（cumulativerelativefrequency）将随着区间从第一个到最后一个的移动，对于相应的相对频数进行累积（加总）。该指标告诉我们低于每个区间上限的观测值占总观测值的比例。仔细观测表3-3中给出的频数分布，我们可以看到，第1个收益率区间-44%到-42%，只有一个观测值；其相对频数为1/77或1.30%。因为低于-42%的观测值只有一个，所以该区间的累积频数为1。因此，累积相对频数为1/77或1.30%。第2个收益率区间有0个观测值；因此，其累积频数为0加上1，而其累积相对频数为1.30%（从前一个区间得来的累积相对频数）。我们可以通过在前一个累积频数的基础上加总（绝对）频数来求得其他区间的累积频数。累积频数告诉我们小于每个收益率区间上限的观测值的数量。

　　正如表3-3所显示的，该样本在各个收益率区间中频数的取值为0～7中的一个数。收益率为-10%～-8%的区间中最多有7个观测值。频数第二多的区间为收益率18%～20%的6个观测值。从累积频数一列中，我们可以看到，负收益率的观测值为23个。所以正收益率的观测值一定等于77-23，即54个。我们可以将正的和负的收益率的数目分别表示成总数的一个百分比，并通过该指标来感受投资于股票市场所存在的内在风险。在77年的区间中，标准普尔500具有负的年收益率的时间占总体的29.9%（即23/77）。

　　频数分布不仅告诉我们大部分观测值集中在何处，还告诉我们数据分布是否是对称的、有偏的或者尖峰的。在标准普尔500的例子中，我们可以看到，超过一半的数据都是正的，而且大部分的年收益率都超过10%（54个正的年收益率中只有11个（大约20%）集中在0到10%之间）。

　　股票收益率数据经常会出现非常大或非常小的结果。我们可以通过选择一个较小的k值，使得频数分布尾部的收益率区间减少。但是这么做会使得我们失去关于股票市场极端差或者极端好这两种情况的信息。一位风险管理者可能需要知道最差的可能结果，因此，他可能想要关于分布尾端（极端值）部分的详细信息。此时，一个具有较大k值的频数分布就会对他有用。而一个投资组合经理或者投资分析师同样也可能对于尾部的详细信息感兴趣；然而，如果一个经理或者分析师想要获得关于大部分观测值主要集中在何处的信息，那么他可能会希望区间的宽度更大一些，例如4%（从-44%开始，共25个区间）。

　　标准普尔500月度收益率的频数分布看上去与年度收益率有较大不同。从1926年1月至2002年12月的月度收益率序列共924个观测值。收益率从最小的-30%左右到最大的43%左右。对于这么大规模的月度数据，我们必须对其进行汇总以获得对于数据总体分布的一个感受，所以我们将数据分为37个2%宽度的等间距收益率区间。通过这样的汇总方式所获得的好处是巨大的。

　　注：每个区间的下限取的是不严格不等号（≤），而每个区间的上限取的是严格不等号（<）。相对频数是绝对频数或者累积频数除以总观测数目。

　　资料来源：由伊博森协会EnCorrAnalyzec产生的频数分布。

　　频数分布的优点都明显地反映在表3-4中，该表告诉我们大部分的观测值（599/924=65%）都位于-2%到+6%的4个区间之中。我们共有355个负的收益率和569个正的收益率，几乎62%的月度收益率都是正的。从最后一列的累积相对频数来看，-2%到0%区间的累积频数表明38.42%的数据低于0%的收益率上限，这意味着38.42%的观测值低于0%的收益率水平。我们同样能够看到，并没有很多观测值大于12%或者小于-12%。我们要注意年度收益率的频数分布和月度收益率的频数分布不是直接可比的。通常，我们应该能预计到以更短的区间进行度量的收益率（例如月收益率）要小于在较长时间区间中进行度量的收益率（如年收益率）。

　　接着，我们就对于1900～2000年间16个主要股票市场的通胀调整后的平均收益率建立频数分布。

　　例3-2建立一个频数分布

　　不同国家的投资者在长期中的股票收益情况是如何的？为了回答这个问题，我们可以直接对平均年度收益率进行检验。（一组数值的平均数或者算术平均数等于这组数值的总和除以该组数值的总个数。例如，为了求解101个年收益率的算术平均数，我们将101个年收益率进行加总然后除以总数101。算术平均数的概念将在之后章节的常用统计学概念中进行详细的介绍。）然而，名义收益率水平的数值依赖于货币购买力的变化，并且各国还面临着不同的价格通胀情况。因此，更好的方法是我们对不同国家投资者获得的平均实际收益率或者经过通胀调整后的收益率进行比较。蒂姆森（Dimson）、马什（Marsh）和斯汤顿（Staunton）（2002）提供了1900～2000年这101年间16个国家的资产收益率的权威数据。

　　3.4数据的图形表示

本文摘自《定量投资分析》

　　作为CFA协会投资学系列丛书中的一本，无论是关注金融的学生，还是从事投?的业界人士，《定量投资分析》（原书第2版）适合每一位对该领域有兴趣的读者。本书所介绍的全球通用的准则将帮助你理解定量投资方法，并将这些方法应用到当今的投资过程中。