单笔现金流的将来值（1）
在本节中，我们介绍与单笔现金流或者一次性投资相关的时间价值问题。我们将阐述初始投资或者现值（presentvalue，PV）与其将来值之间的关系，初始投资获得的收益率（每期的利率）表示为r，其将来值（futurevalue，FV）将于N年或N期后收到。
下面的例子说明了这个概念。假设你将100美元（PV=＄100）投资到一个每年支付5%利息的银行账户中。在第1年年末，你将会获得100美元加上所得的利息，0.05×＄100=＄5，一共是105美元。为将这个单期的例子用公式表示，我们定义以下这些符号：
PV表示投资的现值；
FVN表示投资在N期后的将来值；
r表示每期的利率。
对于N=1（即单期），现值PV的将来值表达式为
对于上述这个例子，我们将1年后的将来值计算为FV1=＄100×(1.05)=＄105。
现在假设你决定将最初的100美元投资两年，且将每年所得利息存入账户（年复利）。在第1年年末（即第2年年初），你的账户将会拥有105美元，这105美元将会继续在你的银行账户中投资1年。于是，第2年年初的105美元（PV=＄105）将会在第2年年末变为＄105(1.05)=＄110.25。注意，在第2年年末获得的5.25美元是第2年年初金额的5%。
我们也可以这样来理解这个例子：第2年年初投资的金额是由最初的100美元与第1年获得的利息5美元组成的，而在第2年中，最初的100美元本金再一次获得利息，第1年获得的利息也同样获得利息。你可以看到最初的投资是如何增长的：
总计＄110.25由100美元原始投资在每期获得的5美元利息被称为是单利（simpleinterest，利率乘以本金）。本金（principal）是最初投资的资金额。在两年的期限中，你共获得了10美元的单利。而在第2年年末你获得的额外的0.25美元，是由你第1年获得的5美元利息再投资而产生的。
由利息再产生的利息让我们对复利（compounding）现象有了初步的认识。虽然初始投资所带来的利息是重要的，但是在给定利率的情况下，这笔利息在每一期中都是固定不变的。由利息再投资而获得的复利会产生一个强大得多的效果，因为，对于给定的利率，它的规模每期都在增长，复利的重要性随着利率量级的增长而增长。例如，假设以5%的年利率进行复利计息，那么今天投资的100美元，将会在100年后变成13150美元；如果我们以13%的利率按年复利计息的话，在100年后将会超过2000万美元。
为了证实2000万美元这个数字结果，我们需要一个一般性的公式来处理任何期数的复利。下面的一般性的公式将初始投资的现值与其N期后的将来值联系起来：
式中，r表示给定的每期利率；N表示复利的期数。在上述银行账户投资的例子中，FV2=＄100×(1+0.05)2=＄110.25。在以13%利率投资的例子中，FV100=＄100×(1.13)100=＄20316287.42。
使用将来值等式需要记住的最重要的一点是，等式中的利率r和复利期数N必须相互匹配。这两个变量必须以相同的时间单位进行定义。例如，如果N是以月作为单位的，那么r就必须是1个月的利率，而不是年利率。
一根时间轴可以帮助我们了解时间单位与每期的利率是否相互匹配。在时间轴上，我们用时间指标t代表距离今天指定期数的一个时点。这样，现值就是当前（标注为t=0）可用于投资的金额。我们现在可以将距离当前N期的时点标注为t=N。
我们在t=0时刻标注了初始投资PV。使用式（1-2），我们将现值乘以因子(1+r)N使之向前移动到t=N时刻。该因子称为将来值因子。我们把将来值在时间轴上表示为FV，并将其标注在t=N时刻。假设将来值正好在10个期间后获得（N=10），通过把现值PV乘以将来值因子(1+r)10，使现值PV和将来值FV处于时间轴的不同位置上。
现值和将来值在时间上不同，由此可得到如下重要的结论：?我们只能对标注在同一时点上的货币金额进行加总。
给定利率，将来值会随着期间数的增加而增加。
作为CFA协会投资学系列丛书中的一本，无论是关注金融的学生，还是从事投?的业界人士，《定量投资分析》（原书第2版）适合每一位对该领域有兴趣的读者。本书所介绍的全球通用的准则将帮助你理解定量投资方法，并将这些方法应用到当今的投资过程中。
下面的例子说明了这个概念。假设你将100美元（PV=＄100）投资到一个每年支付5%利息的银行账户中。在第1年年末，你将会获得100美元加上所得的利息，0.05×＄100=＄5，一共是105美元。为将这个单期的例子用公式表示，我们定义以下这些符号：
PV表示投资的现值；
FVN表示投资在N期后的将来值；
r表示每期的利率。
对于N=1（即单期），现值PV的将来值表达式为
对于上述这个例子，我们将1年后的将来值计算为FV1=＄100×(1.05)=＄105。
现在假设你决定将最初的100美元投资两年，且将每年所得利息存入账户（年复利）。在第1年年末（即第2年年初），你的账户将会拥有105美元，这105美元将会继续在你的银行账户中投资1年。于是，第2年年初的105美元（PV=＄105）将会在第2年年末变为＄105(1.05)=＄110.25。注意，在第2年年末获得的5.25美元是第2年年初金额的5%。
我们也可以这样来理解这个例子：第2年年初投资的金额是由最初的100美元与第1年获得的利息5美元组成的，而在第2年中，最初的100美元本金再一次获得利息，第1年获得的利息也同样获得利息。你可以看到最初的投资是如何增长的：
总计＄110.25由100美元原始投资在每期获得的5美元利息被称为是单利（simpleinterest，利率乘以本金）。本金（principal）是最初投资的资金额。在两年的期限中，你共获得了10美元的单利。而在第2年年末你获得的额外的0.25美元，是由你第1年获得的5美元利息再投资而产生的。
由利息再产生的利息让我们对复利（compounding）现象有了初步的认识。虽然初始投资所带来的利息是重要的，但是在给定利率的情况下，这笔利息在每一期中都是固定不变的。由利息再投资而获得的复利会产生一个强大得多的效果，因为，对于给定的利率，它的规模每期都在增长，复利的重要性随着利率量级的增长而增长。例如，假设以5%的年利率进行复利计息，那么今天投资的100美元，将会在100年后变成13150美元；如果我们以13%的利率按年复利计息的话，在100年后将会超过2000万美元。
为了证实2000万美元这个数字结果，我们需要一个一般性的公式来处理任何期数的复利。下面的一般性的公式将初始投资的现值与其N期后的将来值联系起来：
式中，r表示给定的每期利率；N表示复利的期数。在上述银行账户投资的例子中，FV2=＄100×(1+0.05)2=＄110.25。在以13%利率投资的例子中，FV100=＄100×(1.13)100=＄20316287.42。
使用将来值等式需要记住的最重要的一点是，等式中的利率r和复利期数N必须相互匹配。这两个变量必须以相同的时间单位进行定义。例如，如果N是以月作为单位的，那么r就必须是1个月的利率，而不是年利率。
一根时间轴可以帮助我们了解时间单位与每期的利率是否相互匹配。在时间轴上，我们用时间指标t代表距离今天指定期数的一个时点。这样，现值就是当前（标注为t=0）可用于投资的金额。我们现在可以将距离当前N期的时点标注为t=N。
我们在t=0时刻标注了初始投资PV。使用式（1-2），我们将现值乘以因子(1+r)N使之向前移动到t=N时刻。该因子称为将来值因子。我们把将来值在时间轴上表示为FV，并将其标注在t=N时刻。假设将来值正好在10个期间后获得（N=10），通过把现值PV乘以将来值因子(1+r)10，使现值PV和将来值FV处于时间轴的不同位置上。
现值和将来值在时间上不同，由此可得到如下重要的结论：?我们只能对标注在同一时点上的货币金额进行加总。
给定利率，将来值会随着期间数的增加而增加。
本文摘自《定量投资分析》
作为CFA协会投资学系列丛书中的一本，无论是关注金融的学生，还是从事投?的业界人士，《定量投资分析》（原书第2版）适合每一位对该领域有兴趣的读者。本书所介绍的全球通用的准则将帮助你理解定量投资方法，并将这些方法应用到当今的投资过程中。