无限期等额现金流序列的现值--永续年金

　　考虑延伸至无限期的普通年金的情况。这种普通年金被称为永续年金。我们可以修改式（1-10），使其能够反映无限期的现金流序列，从而得到永续年金现值的计算公式：

　　只要利率始终为正，该现值因子之和总是收敛的，其值为：

　　要了解上式是如何得到的，我们可以回顾一下式（1-11）中关于普通年金现值的表达。当N（年金支付的期数）趋向无穷，1/(1+r)N这一项趋于0，于是式（1-11）就简化为式（1-13）。这个公式将在对股票红利流估值中再次出现，因为股票是没有事先确定的期限的。（一只支付固定红利的股票与永续年金是类似的。）一个每年支付10美元、首笔支付在1年后的永续年金，在20%的要求回报率条件下，其现值为＄10/0.2=＄50。

　　式（1-13）只有在永续年金每期等额支付的情况下才是有效的。在我们上面的例子中，首笔支付发生在t=1时点上；因此，我们所计算的现值是在t=0时点上的。

　　其他资产同样可近似满足永续年金的假设。某些政府债券以及优先股就是具有无限期等额支付金融资产的典型例子。

　　例1-14永续年金的现值

　　英国政府曾经发行过一种叫做统一公债的证券，该证券承诺无限期地支付等额现金流。如果统一公债每年支付100英镑，那么，如果要求的回报率为5%，则该证券在今天的价值为多少？

　　解：要回答该问题，我们可以利用式（1-13）和下列数据：

　　故该债券将价值2000英镑。

　　始点不在零时刻的现金流序列的现值

　　在实际的投资实务中，分析师经常需要求解始点不在t=0时刻的现值。通过改变现值公式中时点的下标并评估从第2年开始支付的每年100美元的永续年金的价值，我们可以得到PV1=＄100/0.05=＄2000（以5%贴现率折现）。进一步，我们可以计算今天的现值为PV0=＄2000/1.05=＄1904.76。

　　考虑一个类似的情况，现金流序列从第4年年末开始，每年发生6美元的现金支付，直到第10年年末为止。从第3年年末的角度来看，我们所面对的是一个典型的7年期的普通年金。我们可以站在第3年年末的角度，求得该年金的现值，并将该现值贴现到当前的时刻。在5%利率水平下，该始于第4年年末、每年支付6美元的现金流序列在第3年年末将价值34.72美元（t=3），而在今天将价值29.99美元（t=0）。

　　下面的例子将说明一个重要的概念，即一个开始于未来某时刻的年金或永续年金可以表示成在其首笔支付时点的前一个时点上的现值。然后，该现值可以再被贴现到今天的现值。

　　例1-15投影永续年金的现值

　　考虑一个等额永续年金，其每年支付100英镑，首笔支付发生于t=5时刻。给定5%的贴现率，该永续年金在今天（t=0）的现值为多少？

　　解：首先，我们求解永续年金在t=4时刻的现值，然后将其贴现到t=0时刻。（回忆一下，一个永续年金或者普通年金的首笔支付是发生在一期之后，所以我们在现值计算中选择时点为t=4。）

　　1.求解在t=4时刻的永续年金的现值：

　　2.求解在t=4时刻一笔未来金额的现值。从t=0时点的角度来看，之前计算的现值￡2000可以被看做是一个将来值。现在我们需要求解该一次性支付的现值：

　　该永续年金在今天的现值为1645.40英镑。

　　正如之前所讨论的，一个年金是给定期数的一系列固定金额的支付。假设我们已经拥有了一个永续年金；同时，我们再发行一个由我们承担支付义务的永续年金，该永续年金的支付额与我们所持有的永续年金的支付额相同，但其支付是从t=5时刻开始，并一直持续到永远的。那么，第二个永续年金的支付完全抵消了t=5时刻以及在此之后所有的由我们所持有的永续年金所给予的支付。于是，我们只剩下了t=1、2、3和4时点上的非零等额现金流。这一结果与4期年金的定义完全一致。因此，我们可以通过将两个支付相等但是具有不同起始点的永续年金作差来构造一个普通年金。下面的例子就说明了这一结果。

　　例1-16普通年金的现值等于当前开始支付的永续年金与未来某时点开始支付的投影永续年金之差的现值

　　给定5%的贴现率，求解一个4年期普通年金的现值，该年金每年支付100英镑，起始支付在第1年年末。该年金可以视为下面两个等额永续年金之差：

　　永续年金1从第1年年末开始，每年支付100英镑（首笔支付在t=1时刻）

　　永续年金2从第5年年末开始，每年支付100英镑（首笔支付在t=5时刻）

　　解：如果将第一个永续年金减去第二个永续年金，我们将得到每期支付100英镑的4年期普通年金（支付发生在t=1，2，3，4时刻）。通过将第一个永续年金的现值减去第二个永续年金的现值，我们可以得到4年期普通年金的现值：

　　1.PV0（永续年金1)=￡100/0.05=￡2000

　　2.PV4（永续年金2)=￡100/0.05=￡2000

　　3.PV0（永续年金2)=￡2000/(1.05)4=￡1645.40

　　4.PV0（年金）=PV0（永续年金1）-PV0（永续年金2）

　　=￡2000-￡1645.40

　　=￡354.60

　　故4年期普通年金的现值等于￡2000-￡1645.40=￡354.60。

本文摘自《定量投资分析》

---

　　 作为CFA协会投资学系列丛书中的一本，无论是关注金融的学生，还是从事投?的业界人士，《定量投资分析》（原书第2版）适合每一位对该领域有兴趣的读者。本书所介绍的全球通用的准则将帮助你理解定量投资方法，并将这些方法应用到当今的投资过程中。