不等额现金流序列的现值

　　当我们遇到非等额的现金流序列时，我们必须首先求得每笔现金流的现值，然后将各个现值进行加总。对于一个具有许多笔现金流的序列，我们通常会使用电子表格来进行现值计算。

　　我们可以通过利用单笔支付的将来值公式来逐一计算这些现金流的将来值。由于我们已经知道该序列的现值，所以我们可以方便地应用时间价值等价关系。这组现金流的将来值为19190.76美元，这等价于当前单笔15036.46美元的支付复利计息到t=5时刻的价值：

　　求解利率、期数或年金支付额

　　在之前的例子中，相关的信息是已知的。例如，所有的问题都给定利率r、期数N、年金（每期）支付额A以及现值PV或者将来值FV。然而在现实世界的应用中，虽然现值和将来值可能是已知的，但是你可能不得不去求解利率、期数或者年金支付额。在下面的小节中，我们将讨论这类问题。

　　求解利率和增长率

　　假设我们已知一份100欧元的银行存款在1年后将会获得111欧元的支付。在这个信息下，我们可以利用式（1-2），FVN=PV（1+r）N，式中N=1，推断出将现值100欧元从将来值111欧元中分解出来的利率。在PV、FV和N已知的情况下，我们可以直接求解r：

　　故使得t=0时刻的100欧元与t=1时刻的111欧元等价的利率为11%。因此，我们可以认为100欧元在11%的增长率下会增长到111欧元。

　　正如这个例子所反映的，利率可以被认为是增长率。对于具体的应用，我们会决定采用术语"利率"或"增长率"。利用式（1-2）来求解r，并将利率r用增长率g来代替，于是就有了用来确定增长率的如下表述：

　　下面的两个例子将会用到上述增长率的概念。

　　例1-17增长率的计算（1）

　　布兰兹（Brands）有限公司在1998年的净销售额为8436000000美元。而在2002年的净销售额为8445000000美元，只稍稍高于1998年。在从1998年年末至2002年年末的4年间，布兰兹有限公司净销售额的增长率为多少？

　　解：要解决这个问题，我们可以利用式（1-14），g=（FVN/PV）1/N-1。我们记1998年的净销售额为PV，2002年的净销售额为PV4。于是，我们可以求解增长率如下：

　　所计算得出的增长率约为每年0.03%，仅仅比零高出一点点。这和我们最初对于布兰兹有限公司净销售额在1998～2002年间基本平稳的直观印象是一致的。

　　例1-18增长率的计算（2）

　　在例1-17中，我们发现布兰兹有限公司在1998～2002年期间的净销售额复利增长率接近于零。作为一个零售商，布兰兹有限公司的销售不仅依赖于其门店数量（或销售门店面积（平方英尺或平方米）），还依赖于其每个门店的销售额（或平均每单位销售门店面积（平方英尺或平方米）的销售额）。事实上，布兰兹有限公司在1998～2002年期间减少了其门店数量。在1998年，其门店数量为5382家，而在2002年为4036家。在这个例子中，我们会谈及一个正的复利的减少率或者说是一个负的复利增长率。那么，运营门店数量的增长率到底是多少呢？

　　解：使用式（1-14），我们可以求得：

　　故在1998~2002年期间运营门店的增长率约为-6.9%。需要注意的是，我们同样可以将-6.9%看做是复利年度增长率，因为该数字反映了门店数量从1998～2002年的复利增长情况。将历年的（1+门店数量年增长率）的数值相乘即可得到1998～2002年期间的（1+门店数量4年累积增长率）的值。（1+门店数量4年累积增长率）的值也可以由最终门店数量4036除以最初门店数量5382得到，两种计算方法得到的结果是相同的，即

　　等式的右边是历年（1+门店数量年增长率）的连乘积。回忆一下，利用式（1-14），我们对求了4次方根。实际上，我们所做的是在求解g的值，该g值经过4次复利后（即（1+g）4）等于历年（1+门店数量年增长率）的连乘积。（我们在这里所计算的复利增长率实际上是计算几何平均值的一个例子，具体来讲它是增长率的几何平均值。我们将在介绍统计概念的章节中给出几何平均的定义。）

　　总之，我们不必像表1-4那样通过计算出所有期间的增长率来求得复利增长率g。然而有时，期间增长率更有趣或者能够提供给我们更多的信息。例如，在2000年的1年中，布兰兹有限公司增加了其门店数量。通过表1-4的计算，我们还可以分析其增长率的变动情况。那么，布兰兹有限公司是如何在此期间，在不增加运营门店的情况下，保持其销售收入基本不变的呢？布兰兹有限公司在信息披露中提及在此期间内公司每平方英尺的销售额上升了。复利增长率是一个极好的度量多期增长情况的汇总指标。在布兰兹有限公司的例子中，复利增长率-6.9%是一个简单增长率。当它与1相加，复利4年，再乘以1998年运营门店的数量，我们就可以得到2002年运营门店的数量。

本文摘自《定量投资分析》

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