等额现金流序列的现值
首先，我们先从普通年金开始谈起。回忆一下，普通年金具有等额的年金支付，而且首笔支付发生在未来的第一期末。整个年金共有N期支付，首期发生在t=1时刻，最后一期发生在t=N时刻。我们可以将普通年金的现值表述为每个单笔年金支付的现值的总和，具体表示如下：
式中，A表示（每期）年金支付额；r表示与年金支付频率相关的每期利率（如按年、季或者月）；N表示年金支付期数。
因为年金支付额（A）在这个公式中是一个常数，它可以作为一个公因子提出，作为一个公共项。因此，利息因子的总和有一个简洁的表述：
与计算普通年金将来值的方式类似，我们可以将年金支付额乘以现值年金因子［式（1-11）括号中的项］来获得现值。
例1-11普通年金的现值
假设你正考虑购买一项承诺在未来5年内每年支付1000欧元的金融资产，其首笔支付是在一年后提供，所要求的回报率为每年12%。那么你应该支付多少来购买这项资产？
解：我们利用式（1-11）所给出的普通年金现值的计算公式和如下的数据来求解该金融资产的价值：
在未来5年内每年支付1000欧元的一系列现金流，以12%进行贴现的当前价值为3604.78欧元。
现实中发生现金流的实际时间不同，我们考虑一种特定的等额年金：预付年金。
预付年金的首笔支付发生在今天（t=0）。总体上，预付年金会有N次支付。
我们可以将4期的预付年金视为两个部分的和：今天一次性支付的100美元和一个每期支付100美元共3期的普通年金。在12%的贴现率水平下，这个预付年金例子中的4个100美元的现金流将价值340.18美元。（还有另外一个计算预付年金现值的方法。由于预付年金相对于普通年金，其每笔支付都要少一个单位期间，因此，我们可以对式（1-11）进行修改，即让等式右边乘以（1+r）来对于预付年金进行处理。于是就有，PV（预付年金)=A｛［1-(1+r)-N］/r｝/(1+r)。）
将未来现金流序列的价值表达成当前美元的方法使得我们能够方便地将不同的年金进行比较。下面的例子就说明了这一方法。
例1-12即刻支付的现金流加上普通年金的现值
假如今天你要退休了，那么你必须选择获取你的退休金的方式，或者以一次性方式领取，或者以年金的方式领取。你所在公司的退休金管理人员提供你两个可选方案：一份即刻支付200万美元的支票；或者是一份每年支付20万美元、共支付20年的年金，该年金的首笔支付在今天即刻支付。目前，银行的利率为每年7%，按年度复利。那么哪一个可选方案会有更大的现值？（忽略任何对于这两个选择的税收影响）
解：要比较这两个方案，我们就要求解每个方案在t=0时刻的现值，然后选择其中具有较大现值的方案。第一个方案的现值是200万美元，因为它已经用今天的美元数量表示了。第二个方案是一个预付年金。因为首笔支付发生在t=0时点，所以你可以将该年金收益分成两个部分：一个今天即刻支付（在t=0时刻支付）的200000美元以及一个每年支付200000美元、共支付19期的普通年金。要计算该方案的价值，你需要用式（1-11）求出普通年金的现值，然后再加上200000美元。
上述19期支付的200000美元的现值为2067119.05美元，加上初始支付的200000美元，我们可以得到该年金方案的现值合计为2267119.05美元。显然该年金的现值大于一次性支付200万美元的另一可选方案。我们再来看另一个关于现值和将来值等价性的例子。
例1-13普通年金的投影现值
一位德国养老金基金经理预计每年要支付退休者100万欧元的退休金。退休金将在10年后（t=10）开始支付。一旦退休金开始支付，它将一直持续到t=39时刻，共支付30期。那么，如果对于该养老金计划适当的年贴现率为5%，按年度复利，则该养老金计划的现值是多少？
解：这个问题涉及首笔支付在t=10时刻的年金。如果站在t=9时刻的角度来看，我们会看到一个30期支付的普通年金。我们可以用式（1-11）来计算该年金的现值，然后在时间轴上来观察它。
在时间轴上，我们看到1000000欧元的养老金支付从t=10时刻一直延续到t=39时刻。大括号和箭头表示求解年金的过程，即将年金贴现到t=9时点上。该养老金计划在t=9时刻的现值为15372451.03欧元。现在的问题是求解在今天的现值（在t=0时刻）。
现在我们可以依赖现值和将来值的等价关系来进行计算。如图1-7所示，我们可以将t=9时点上的现值视为t=0时点上的将来值。我们可以用下面的方式计算t=9时点上金额的现值：
故该养老金计划的现值为9909219.00欧元。
例1-13演示了本章所强调的关于现金流计算的三个步骤：
求解任一现金流序列的现值或者将来值；
识别出现值与适当贴现后的将来值之间的等价性；
在货币时间价值计算中注意现金流发生的实际时间。
作为CFA协会投资学系列丛书中的一本，无论是关注金融的学生，还是从事投?的业界人士，《定量投资分析》（原书第2版）适合每一位对该领域有兴趣的读者。本书所介绍的全球通用的准则将帮助你理解定量投资方法，并将这些方法应用到当今的投资过程中。
式中，A表示（每期）年金支付额；r表示与年金支付频率相关的每期利率（如按年、季或者月）；N表示年金支付期数。
因为年金支付额（A）在这个公式中是一个常数，它可以作为一个公因子提出，作为一个公共项。因此，利息因子的总和有一个简洁的表述：
与计算普通年金将来值的方式类似，我们可以将年金支付额乘以现值年金因子［式（1-11）括号中的项］来获得现值。
例1-11普通年金的现值
假设你正考虑购买一项承诺在未来5年内每年支付1000欧元的金融资产，其首笔支付是在一年后提供，所要求的回报率为每年12%。那么你应该支付多少来购买这项资产？
解：我们利用式（1-11）所给出的普通年金现值的计算公式和如下的数据来求解该金融资产的价值：
在未来5年内每年支付1000欧元的一系列现金流，以12%进行贴现的当前价值为3604.78欧元。
现实中发生现金流的实际时间不同，我们考虑一种特定的等额年金：预付年金。
预付年金的首笔支付发生在今天（t=0）。总体上，预付年金会有N次支付。
我们可以将4期的预付年金视为两个部分的和：今天一次性支付的100美元和一个每期支付100美元共3期的普通年金。在12%的贴现率水平下，这个预付年金例子中的4个100美元的现金流将价值340.18美元。（还有另外一个计算预付年金现值的方法。由于预付年金相对于普通年金，其每笔支付都要少一个单位期间，因此，我们可以对式（1-11）进行修改，即让等式右边乘以（1+r）来对于预付年金进行处理。于是就有，PV（预付年金)=A｛［1-(1+r)-N］/r｝/(1+r)。）
将未来现金流序列的价值表达成当前美元的方法使得我们能够方便地将不同的年金进行比较。下面的例子就说明了这一方法。
例1-12即刻支付的现金流加上普通年金的现值
假如今天你要退休了，那么你必须选择获取你的退休金的方式，或者以一次性方式领取，或者以年金的方式领取。你所在公司的退休金管理人员提供你两个可选方案：一份即刻支付200万美元的支票；或者是一份每年支付20万美元、共支付20年的年金，该年金的首笔支付在今天即刻支付。目前，银行的利率为每年7%，按年度复利。那么哪一个可选方案会有更大的现值？（忽略任何对于这两个选择的税收影响）
解：要比较这两个方案，我们就要求解每个方案在t=0时刻的现值，然后选择其中具有较大现值的方案。第一个方案的现值是200万美元，因为它已经用今天的美元数量表示了。第二个方案是一个预付年金。因为首笔支付发生在t=0时点，所以你可以将该年金收益分成两个部分：一个今天即刻支付（在t=0时刻支付）的200000美元以及一个每年支付200000美元、共支付19期的普通年金。要计算该方案的价值，你需要用式（1-11）求出普通年金的现值，然后再加上200000美元。
上述19期支付的200000美元的现值为2067119.05美元，加上初始支付的200000美元，我们可以得到该年金方案的现值合计为2267119.05美元。显然该年金的现值大于一次性支付200万美元的另一可选方案。我们再来看另一个关于现值和将来值等价性的例子。
例1-13普通年金的投影现值
一位德国养老金基金经理预计每年要支付退休者100万欧元的退休金。退休金将在10年后（t=10）开始支付。一旦退休金开始支付，它将一直持续到t=39时刻，共支付30期。那么，如果对于该养老金计划适当的年贴现率为5%，按年度复利，则该养老金计划的现值是多少？
解：这个问题涉及首笔支付在t=10时刻的年金。如果站在t=9时刻的角度来看，我们会看到一个30期支付的普通年金。我们可以用式（1-11）来计算该年金的现值，然后在时间轴上来观察它。
在时间轴上，我们看到1000000欧元的养老金支付从t=10时刻一直延续到t=39时刻。大括号和箭头表示求解年金的过程，即将年金贴现到t=9时点上。该养老金计划在t=9时刻的现值为15372451.03欧元。现在的问题是求解在今天的现值（在t=0时刻）。
现在我们可以依赖现值和将来值的等价关系来进行计算。如图1-7所示，我们可以将t=9时点上的现值视为t=0时点上的将来值。我们可以用下面的方式计算t=9时点上金额的现值：
故该养老金计划的现值为9909219.00欧元。
例1-13演示了本章所强调的关于现金流计算的三个步骤：
求解任一现金流序列的现值或者将来值；
识别出现值与适当贴现后的将来值之间的等价性；
在货币时间价值计算中注意现金流发生的实际时间。
本文摘自《定量投资分析》
作为CFA协会投资学系列丛书中的一本，无论是关注金融的学生，还是从事投?的业界人士，《定量投资分析》（原书第2版）适合每一位对该领域有兴趣的读者。本书所介绍的全球通用的准则将帮助你理解定量投资方法，并将这些方法应用到当今的投资过程中。