1657年（2）

　　在状态价格的解释中，同样出于套利的原因，状态价格πa和πb的总和必须为1，而且两者都为正。然而，现代理论并没有接受惠更斯的隐含假设，即在等概率状态中改变参与者序列并不改变游戏价值。也就是说，在现代理论中，机会均等的奖金分配（X，0）和（0，X）并不等值。

　　按照现代观点来看，状态价格不仅反映概率，还反映了风险程度与风险规避程度。我们知道，惠更斯隐含在假设1背后的观点──参与者获得X或0机会均等的赌博的价值等于X/2──并不一定成立。如果现实中不存在另外一种奖金为0或X的反向赌博，那么惠更斯的观点就不成立。根据惠更斯的假设，如果两类赌博都以相同数量存在于同一市场，那么风险可以完全分散，赌博的价格应该等于期望收益。但如果只存在一种赌博而另一种不存在，由于风险不能完全分散，赌博的价格就可能高于或者低于期望价值，是高是低取决于其收益与其他可投资项目的相关程度、赌博与对参与者而言重要的其他因素的关系以及参与者的风险规避程度。或者，由于非赌博因素造成参与者的其他财富在两种状态下不一致，那么这两种赌博的价格也会不一致。比如，如果在第一种状态下参与者的总体财富低于第二种状态，那么即便两位参与者增加额外赌注，分配结果为（X，0）的价值也将高于（0，X）的价值（当然，根据前文说过的简单套利理论，不管两种赌博的价格怎样，两者之和肯定等于X）。

　　突然想到一个现实生活中的例子，2000年爱荷华大学曾办过一次总统选举赌博，获胜者可以拿走全部赌注。参与者可以出资PB，如果布什当选总统，他可以赢得1美元；如果布什落选，他得0。参与者还可以出资PG，如果戈尔当选总统，他可以赢得1美元；如果戈尔落选，他得0。如果我们忽略还有第三位候选人获胜的概率，套利原则要求两种价格之和PB＋PG＝1美元。事实上，这只是个极度近似值。我们是否可以像惠更斯那样将PB理解为布什当选的期望价值，将PG理解为戈尔当选的期望价值呢？这可不一定。假如参与者预期布什当选总统时的经济状况好于戈尔，而且参与者们都是风险规避型，那么戈尔当选所增加的1美元的效用将大于布什当选增加的1美元。或者，参与者赌布什赢而布什真的当选，那么参与者就无法获得如果他打赌戈尔而且戈尔当选所能获得的额外1美元，他会因此遗憾。因此，下注布什或者戈尔的价格不仅取决于主观概率，还取决于效用。最终，赌布什赢的价格PB将略微低于布什当选的主观概率，而赌戈尔赢的价格PG将略微高于戈尔当选的主观概率──不管怎样，两者之和都等于1。

　　利用3个基础命题，惠更斯证明了另外11个命题，提出但未解决5个问题，其中有些问题是由费马提出来的。定理4至定理9针对的是当时帕斯卡-费马（1654）讨论的点数问题。而定理10至定理14则移至新的领域。简单地说，命题10回答这样一个问题：一个人需要掷多少次骰子才会掷出6点？惠更斯利用反向递归的方法解决了这一问题。掷一次就能掷出6点的概率X1=1/6，而不是6点的概率为5/6。掷两次能得到6点的概率等于第二次得到6点的概率1/6加上第二次没有得到但第一次得到6点的概率（5/6） X1。即掷两次得到6点的概率为X2=1/6＋（5/6） X1。同理，掷三次能得到6点的概率等于第三次得到6点的概率1/6加上第三次没有得到但前两次得到的概率（5/6） X2。即掷三次得到6点的概率为X3=1/6＋（5/6） X2。继续推下去，我们可以得到掷k次得到6点的概率为Xk＝1/6＋（5/6） Xk－1。根据该公式，我们不难看出，当k=4时，掷出6点的概率在1/2至671/1296之间［尽管惠更斯没有解出该数列的公式，我们不难得到Xk＝1－（5/6）k］。

　　最后一个命题，命题14，他把这种递归方法再深入一步，用以分析比赛轮数没有限制的情况。该定理回答如下问题：假如两位选手轮流掷两枚骰子。如果A先掷出7点，则A赢；如果B先掷出6点，则B赢；且由B先掷。问：A获胜的几率为多少？显然，A在第一轮就得到7点的概率为6/36，而B在第一轮得到6点的概率为5/36。惠更斯建立了两个联立方程。设A获胜的概率为p，那么B获胜的概率最终为1－p。每当B掷骰子时，情况都和比赛刚开始时一样，A赢的概率都将为p。而每当A开始掷时，A最终获胜的概率将大于p，假设是q。通过解联立方程，我们可以得到p=31/61，即A胜败的概率之比为31∶30。

　　惠更斯在书中最后附上的5个问题是赌徒破产问题，最初由帕斯卡提出：两位赌资相同的选手开始比赛。他们将依序进行多轮比赛。每一轮，第一位选手获胜的概率为p，如果获胜他将从第二位选手的赌资中拿走1个单位；相应的，第二位选手获胜的概率为1－p，获胜后他从第一位选手的赌资中也拿走1个单位。一旦某位选手赌资输完，比赛就结束。问：比赛最多出现n轮的概率是多少？

　　赌徒破产问题对日后随机游走与布朗运动的发展起了至关重要的作用。按照现代术语来说，就是在两个吸收壁之间随机游走，其中一个吸收壁显示第一位选手的得失，另一个吸收壁显示第二位选手的得失。1713年，哈尔德（2003）在他与皮埃尔-雷蒙德-蒙特莫特的通信中曾提到尼古拉斯-伯努利解答了这一问题：两位选手赌资不同，能进行多轮比赛。假设选手A的初始赌资为a，B的初始赌资为b；每轮A赢的概率为p，B赢的概率则为q=1－p。

本文摘自《投资思想史》

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　　 当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。