1725年（3）
我们可以将et看成是在第t年你收到1元的现值，条件是当且仅当你到那时还活着。按照现在人寿年金的说法，这个et被称为"生存保险"的价格。保险精算师们将生存保险定义为投保人必须在指定时间内生存，才能收到的一定款项；如果投保人在特定日期之前死亡，他生前将什么也得不到。养老保险的条件宽泛一些：不管投保人是否活过指定日期，投保人都可以收到一笔指定的总数再加上一笔利息。只不过，如果投保人提前死亡，他得到的收入会有所变化。一般地，在等额分期支付情况下，如果投保人还健在，他通常会得到补偿。该类保险可以分解为两部分：一部分是生存保险，一旦在指定日期之前投保人死亡，该部分就取消；另一部分是投保人提前死亡时支付的条件保险。
数学家棣莫弗（1725）也研究过人寿年金问题，推导出了单一人寿年金、联合人寿年金、唐提式养老保险以及退休金等的"解析解"。他的问题1（pp.265～266）针对单一人寿年金。为了得到解析解，他假定，生存概率随着年龄的增长而呈等差级数降低：
假定生存概率呈等差级数递减，求某一特定年龄人寿年金的价值。
根据哈雷的公式，棣莫弗假定pt=1-（t/n），这里n可以理解为投保人剩余寿命的最大值。例如，一位男性现在30岁；如果n＝50，那么他能再活一年的概率为p1=1-1/50=0.98；再活两年的概率为p2=1-2/50=0.96；再活50年的概率为p50=1-50/50=0。假定已知两笔单项人寿年金的价值，求基于两人联合生存期的年金的价值。
假设两个年龄分别为x和y的人各自购买了人寿年金，保险合同明确说明，在两个人有生之年每年向两人各支付1元。设两个人年金的现值分别为Ax≡Σt（xpt/rt），Ay≡Σt（ypt/rt）。再假设两个人继续存活的概率随着时间而呈几何递减，则xPt=Ptx，yPt=Pty。例如，对年龄为x的人，他再存活一年的概率为 px ，存活两年的概率为 p2x ，依此类推。我们再具体看看该等式的推导过程。自现在年龄开始，两人再活t年的概率为（pxpy）t，因而联合年金的现值为Axy=Σk=1，2，…，∞（pxpy/r）t。既然棣莫弗已经提出了这个问题，我们需要按照单一人寿年金展开该等式。第一人单一人寿年金的现值为Ax=Σk=1，2，…，∞（px/r）t=（px/r）/［1-（px/r）］=px/（r-px）。同样，第二个人年金的现值为Ay=py/（r-py）。解上述两个等式，再将px与py的表达式代入联合年金Axy的表达式，即得到上述结果。
棣莫弗还考虑了一个唐提式养老保险问题（问题4，p.270）：
假定已知两笔单一人寿年金的价值，不管是否谁先死亡，求两人中较长寿者的年金价值。
无须特别假定xpt与ypt不依赖于t，棣莫弗证明了该年金价值为Ax+Ay-Axy。
很显然，两人中至少有1人在时间t还存活的概率为1-（1-xpt）（1-ypt）。因此，唐提式养老保险的现值为Σt［1-（1-xpt）（1-ypt）］/rt。把该式分解为三个部分，一部分为xpt，一部分为ypt，另一部分为xptypt，就得到上述结果。
棣莫弗的问题7（p.272）由于"继承"产生的人寿年金的价值：
假设A拥有一笔年金，在A去世后B可以得到一笔人寿年金，求A去世后B的人寿年金的价值。
同样无须特别假定xpt与ypt不依赖于t，棣莫弗证明了该年金价值为Ax -Axy。
同理，很显然，在第t年A已经去世而B存活的概率为（1-xpt）ypt。因此唐提养老保险的现值为Σt［（1-xpt）ypt］/rt。把该式分解为两个部分，一部分为ypt，另一部分为xptypt，就得到上述结果。
1738年
丹尼尔-伯努利（1700年2月8日──1782年3月17日）用拉丁文发表了《有关衡量风险的新理论说明》（Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis）；后来由L.萨默翻译成英文并出版在《计量经济学》第22卷，第1期（1954年1月），pp.23~36。
当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。
数学家棣莫弗（1725）也研究过人寿年金问题，推导出了单一人寿年金、联合人寿年金、唐提式养老保险以及退休金等的"解析解"。他的问题1（pp.265～266）针对单一人寿年金。为了得到解析解，他假定，生存概率随着年龄的增长而呈等差级数降低：
假定生存概率呈等差级数递减，求某一特定年龄人寿年金的价值。
根据哈雷的公式，棣莫弗假定pt=1-（t/n），这里n可以理解为投保人剩余寿命的最大值。例如，一位男性现在30岁；如果n＝50，那么他能再活一年的概率为p1=1-1/50=0.98；再活两年的概率为p2=1-2/50=0.96；再活50年的概率为p50=1-50/50=0。假定已知两笔单项人寿年金的价值，求基于两人联合生存期的年金的价值。
假设两个年龄分别为x和y的人各自购买了人寿年金，保险合同明确说明，在两个人有生之年每年向两人各支付1元。设两个人年金的现值分别为Ax≡Σt（xpt/rt），Ay≡Σt（ypt/rt）。再假设两个人继续存活的概率随着时间而呈几何递减，则xPt=Ptx，yPt=Pty。例如，对年龄为x的人，他再存活一年的概率为 px ，存活两年的概率为 p2x ，依此类推。我们再具体看看该等式的推导过程。自现在年龄开始，两人再活t年的概率为（pxpy）t，因而联合年金的现值为Axy=Σk=1，2，…，∞（pxpy/r）t。既然棣莫弗已经提出了这个问题，我们需要按照单一人寿年金展开该等式。第一人单一人寿年金的现值为Ax=Σk=1，2，…，∞（px/r）t=（px/r）/［1-（px/r）］=px/（r-px）。同样，第二个人年金的现值为Ay=py/（r-py）。解上述两个等式，再将px与py的表达式代入联合年金Axy的表达式，即得到上述结果。
棣莫弗还考虑了一个唐提式养老保险问题（问题4，p.270）：
假定已知两笔单一人寿年金的价值，不管是否谁先死亡，求两人中较长寿者的年金价值。
无须特别假定xpt与ypt不依赖于t，棣莫弗证明了该年金价值为Ax+Ay-Axy。
很显然，两人中至少有1人在时间t还存活的概率为1-（1-xpt）（1-ypt）。因此，唐提式养老保险的现值为Σt［1-（1-xpt）（1-ypt）］/rt。把该式分解为三个部分，一部分为xpt，一部分为ypt，另一部分为xptypt，就得到上述结果。
棣莫弗的问题7（p.272）由于"继承"产生的人寿年金的价值：
假设A拥有一笔年金，在A去世后B可以得到一笔人寿年金，求A去世后B的人寿年金的价值。
同样无须特别假定xpt与ypt不依赖于t，棣莫弗证明了该年金价值为Ax -Axy。
同理，很显然，在第t年A已经去世而B存活的概率为（1-xpt）ypt。因此唐提养老保险的现值为Σt［（1-xpt）ypt］/rt。把该式分解为两个部分，一部分为ypt，另一部分为xptypt，就得到上述结果。
1738年
丹尼尔-伯努利（1700年2月8日──1782年3月17日）用拉丁文发表了《有关衡量风险的新理论说明》（Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis）；后来由L.萨默翻译成英文并出版在《计量经济学》第22卷，第1期（1954年1月），pp.23~36。
本文摘自《投资思想史》
当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。