求解年金支付额

　　在这一节中，我们将讨论如何来求解年金支付额。抵押贷款、汽车消费贷款和退休储蓄计划都是年金公式应用的经典例子。

　　例1-20月度复利计息时达到将来值所需的年金支付额

　　你正计划购买一套价值120000美元的住房。你会首付20000美元，其余部分将通过一份按月度复利计息的30年的固定利率抵押贷款来分期偿还。首笔支付将在t=1时刻发生。当前抵押贷款的利率报价为8%，按月度复利。那么，你每月应偿还的抵押贷款额为多少？

　　解：银行将会确定抵押贷款的支付额，以使得在期间报价利率的水平下，所有支付额的现值等于贷款额（在这个例子中为100000美元）。在记住这一事实之后，我们可以利用式，来求解年金支付额A，即通过将现值除以现值年金因子：

　　100000美元的贷款数额等价于一个360个月每月支付733.76美元并以8%报价年利率计息的年金。抵押贷款问题是求解年金支付额的一个相对直接的应用。

　　下面我们将转向退休金计划问题。这个问题描述了这样一个复杂的情况，即一个人想要在退休时获得一笔特定的退休金收入。在整个生命周期中，这个人可能只能在早期存入较小数额的存款，但是在之后的人生中，他可能会拥有一定的金融资源以存入更多的金额。储蓄计划常常涉及不等额的现金流，我们会在本章的最后部分讨论这个问题。当处理不等额现金流时，我们会最大限度地利用现金流可加性原理（cashflowadditivityprinciple），即在相同时点上的美元金额是可加的。

　　例1-21未来年金流入所需筹集的投影年金金额

　　吉尔-格兰特（JillGrant）今年22岁（在t=0时刻），她现在正在为她63岁的退休进行打算（在t=41时刻）。她计划在接下来的15年每年存入2000美元（t=1时刻至t=15时刻）。她想要有20期的每年100000美元的退休金收入，其首笔退休金支付始于t=41时刻。那么，在t=16时刻至t=40时刻之间，每年格兰特要储蓄多少金额才能达到她所制定的退休金目标？假设她计划投资于平均年回报率8%的充分分散化的股票与债券型共同基金之中。

　　解：为了帮助解决该问题，我们将信息标注在一条时间轴上。如图1-8所示，格兰特将在第1～15年间每年存入2000美元（现金流出）。从第41年开始，格兰特将开始在接下去的20年内每年提取退休金收入100000美元。在时间轴上，年储蓄额用括号中的数值（2美元）来表示这是一笔现金流出。我们的问题是求解从第16～40年的储蓄额，我们将其记为X。

　　该问题的求解需要利用如下的关系：储蓄的现值（流出）等于退休金收入的现值（流入）。我们可以将所有的美元数额换算到t=40时刻或者t=15时刻，并由此求解X。

　　我们不妨在t=15时刻对所有的美元金额进行估值计算（我们鼓励读者在t=40时刻估值的基础上重新将该问题再做一遍）。在t=15时刻，首笔储蓄额X将在1期之后支付（在t=16时刻）。因此，我们可以使用普通年金的现值公式对一个大小为X的现金流序列进行换算。

　　这个问题涉及三个等额现金流序列。我们基本的想法是退休金收入的现值必须与格兰特之前的储蓄额的现值相等。于是，我们的求解步骤如下：1.求解每年2000美元储蓄在t=15时刻的将来值。该值告诉我们格兰特在t=15时刻将已经存储了多少金额。

　　2.求解退休金收入在t=15时刻的现值。该值告诉我们格兰特所要求的退休金目标金额是多少（同样是在t=15时刻）。这里需要两个子步骤。首先，在t=40时刻计算每年支付100000美元年金的现值。这里我们利用了年金的现值公式。（注意到这里的现值是在t=40时刻的，因为首期支付是在t=41时刻发生的。）其次，将该现值折现到t=15时刻（一共是25个期间）。

　　3.现在我们可以计算格兰特的储蓄额（第一步所得的结果）和她所要求的退休金目标金额（第二步所得的结果）之差。她在t=16时刻至t=40时刻间的储蓄额的现值必须与其储蓄将来值与退休金收入的现值之差相等。我们的目标是确定格兰特在t=16时刻至t=40时刻的25年间每年的储蓄额。我们从计算每年2000美元的储蓄在t=15时刻的将来值开始，具体计算如下：

　　在t=15时刻，格兰特最初的储蓄将增长到54304.23美元。

　　现在我们需要知道格兰特所需的退休金收入在t=15时刻的价值。正如之前所述，计算退休金的现值需要两个子步骤。首先，利用式（1-11）求解在t=40时刻的现值；其次，将该现值折现到t=15时刻。现在我们求解t=40时刻退休金收入的现值：

　　由于这是在t=40时刻的现值，因此我们现在必须将其一次性折现到t=15时刻：

　　现在回忆一下，之前我们算得格兰特在t=15时刻将已经储蓄54304.23美元。因此，从现值的角度来看，t=16时刻至t=40时刻的年金必须与已经储蓄的金额（54304.23美元）和所需要的退休金数量（143362.53美元）之间的差额相等。该值?于＄143362.53-＄54304.23=＄89058.30。因此，我们现在必须求解从t=16时刻至t=40时刻的现值为89058.30美元的年金的每期支付额A。我们计算该年金支付额的过程如下：

　　格兰特需要在t=16时刻至t=40时刻间将每年的储蓄额增加到8342.87美元，以达到她退休的目标，即在t=40时刻最后一笔储蓄支付之后她将获得一笔价值981814.74美元的资金。

本文摘自《定量投资分析》

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