现值和将来值换算关系的回顾

　　正如我们已经讨论的，求解现值和将来值涉及将货币金额在时间轴上不同时间点间的移动。该操作之所以是可能的，是因为现值和将来值是在时间上分离的等价度量指标。我们首先从第三列开始，该列的数字代表现值。注意到每笔1000美元的现金支付被以适当的期数折现为t=0时刻的现值。现值4329.48美元正好等价于这一现金流序列。这一信息揭示了一个重要的观点：一次性支付的现金流可以产生一个年金。如果我们将这个一次性支付放在一个账户之中，并让其在整个期间中以报价利率计息，那么我们将得到一个与之相等价的年金。分期贷款如抵押贷款和汽车消费贷款，都是应用这一原理的例子。

　　为了了解一笔一次性支付现金流如何产生一个年金，假设在今天我们以5%利率在银行中存入4329.48美元。我们可以通过式（1-11）计算出年金支付额的大小。通过求解A，我们得到：

　　我们先从t=0时刻最初的现值4329.48美元开始。从t=0时刻到t=1时刻，初始投资获得了5%的利息，产生将来值＄4329.48（1.05）=＄4545.95。然后我们从账户中取出1000美元，剩下＄4545.95-＄1000=＄3545.95（该数字在表中第一个期间的最后一列中给出）。在下一个期间，我们同样获得了1年的利息并从中提款1000美元。在第4次提款之后，账户余额为952.38美元，它将继续获得5%的利息。于是，这一金额将在这一年中增长到1000美元，而这正好满足我们最后一次的提款额度。因此最初的现值，在以5%的利率投资5年后，将产生每年1000美元的5年期普通年金。该初始投资的现值正好等价于这个年金。

　　现在我们可以来看一下，将来值是如何与年金相关的。在表1-5中，我们所报告的年金将来值为5525.64美元。我们通过将最初的1000美元支付向前复利4期，将第二期的1000美元支付向前复利3期，以此类推。我们可以将所得到的5个在t=5时刻的将来值加总。于是，年金与t=5时刻的5525.64美元和t=0时刻的4329.48美元等价。因此，这两个美元数值是等价的。我们可以通过求解将来值5525.64美元的现值（＄5525.64（1.05-5）=＄4329.48），来证明这两者间的等价性。在我们揭示一次性支付可以产生一个年金的同时，我们发现了如上的结果。

　　总结一下至今我们所学到的内容：一次性支付额可以视为等价于一个年金，而年金可以认为等价于其将来值。因此，只要标记在同一时点上，现值、将来值和现金流序列都可以被认为是相互等价的。

本文摘自《定量投资分析》

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