1761年(1)

2013-10-13 19:20:16

  埃德蒙-哈雷(1656年11月8日──1742年1月14日)所著的《论复利》(Of Compound Interest)在哈雷逝世后出版。见亨利-舍温编著的《舍温算表》(Sherwins Mathematical Tables)(W.and J.Mount,T.Page and Son,1761年)。

  斐波纳契数列、现值、合伙制、永续年金、资本预算

  斐波纳契(1202)因为将阿拉伯数学符号引入欧洲而闻名于世。阿拉伯数字最早可能于公元后第一个千年的中期形成于印度,其后逐渐被阿拉伯商人和学者所学习。斐波纳契在北非的旅行中学到了阿拉伯数字。在书中的第一章,他是这样开篇的:

  如下是印度人使用的九个数字:9,8,7,6,5,4,3,2,1。用这九个数字,再加上0这个符号,任何数字都既能被书写也能被示范。

  在这本小册子出版后,用笔墨计算的阿拉伯数字取代了算盘的地位。这本书也提出了著名的斐波纳契数列,1,1,2,3,5,8,13,…

  《算经》这本书在现值计算发展中的作用却没有得到足够的重视,直到最近才被威廉N.戈茨曼发现(见戈茨曼(2003):《斐波纳契与金融革命》(Fibonacci and the Financial Revolution),耶鲁大学国际金融中心手稿,第03~28号,2003年10月23日。)。斐波纳契通过几个数学例子来说明他的计算方法。其中对投资学有四个方面的应用:①在合伙人成员中进行公平的利润分配(见《论公司》(On Companies),pp.172~173。);②序列投资的利润计算,其中包括中间撤出投资(见《旅行者的问题》(Problems of Travelers),pp.372~373。);③终值的计算(见《将一百英镑存在银行获取利息时值得注意的问题》(A Noteworthy Problem on a Man Exchanging One Hundred Pounds at Some Banking House for Interest),pp.384~386。);④现值的计算(见《论一个战士从封地中获得三百个金币》(On a Soldier Receiving Three Hundred Bezants for His Fief),p.392。)。他对问题①的解答很简单:将利润按照投入资本的比例来分配,这个答案在今天看来是显而易见的。关于问题③的举例,西格勒是这样翻译的:

  有个人在一家银行存入100英镑,每英镑每个月能获得4便士的利息。他每年取出30英镑。那么他需要花多少时间才能把钱全部取出来?(p.384)

  斐波纳契的计算结果是,那个人的钱在银行的时间是6年零8天零(1/2)(3/9)5个小时。上述表达式是斐波纳契所使用的符号,按照今天的表示方法每一部分的分母应等于该分母与所有右边分母的乘积,如1/2实际上表示的是(1/2×1/9)而小时数就是所有部分的加总和。因此,按照现代的符号表示的小时数等于5小时+(3/9)小时+(1/18)小时= 小时。值得注意的是,尽管斐波纳契的符号已经被废弃,但当度量小数量单位时还是很有用的。例如,斐波纳契将会这样来表示5周零3天零4小时零12分零35秒:(35/60)(12/60)(4/24)(3/7)5。

  在问题④中,斐波纳契通过对两只年金现值进行排名的方式演示了现值的使用。两只年金的区别仅在于获得报酬的周期不同,利息再投资的利率都是每个季度2%:两只年金每年都各支付300个金币,不同在于其中一只年金每季度支付75个金币,而另外一只年金则在每年年末支付300个金币。

  由于复利的存在,固定利率下的现值是几何序列的加权求和。戈茨 曼推测,斐波纳契的利息概念可能为他提出著名的无穷级数概念提供灵感。不幸的是,我们对斐波纳契知之甚少,这样的猜测还不能被证实。

  在斐波纳契之后,阿拉伯数字在欧洲得到广泛的使用,尤其是用于商业目的。一位不知名的作者所著的《翠维索算术》(1478)是迄今已知的最早的算术书,它试图普及阿拉伯数字系统。该书在开篇描述了如何使用阿拉伯数字来计数、加、减、乘、除──这与今天使用的程序是一样的。在那个时期,数字刚刚演化成现代所使用的形式。例如,用?表示零的方式在1275年后销声匿迹。其中部分原因可能要归因于《翠维索算术》,因为印刷技术可能迫使书写标准化。不过,加、减、乘、除等符号要到很晚才被引入。"+"和"-"出现在1489年,"×"出现在1631年,"÷"出现在1659年。既然谈到这个问题,我们就展开一下。"√"出现在1525年,"="出现在1557年,"<"和">"出现在1631年,"∫"出现在1675年(由戈特弗里德-威廉-莱布尼兹发明),"f(x)"出现在1735年(由列昂哈德-欧拉发明),"dx/dy"于1797年由约瑟夫-路易斯-拉格朗日提出。用小数表示分数直至1585年才出现。用字母表示等式中的未知数直到1580年左右才在弗兰克斯-韦达(1540──1603)的公式中出现。约翰-纳皮尔于1614年发明了对数,并在1617年将小数符号引入欧洲。

本文摘自《投资思想史》


   当人们更多地关注财富传奇故事时,往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想,从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而,投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉,令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起,直至2005年的行为金融思想,时间跨度800余年,分为古代时期、古典时期和现代时期。

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