1725年（2）
虽然我们看到罗马人已经对年金被提名人的预期寿命进行了调整，但该调整还比较粗糙。对预期寿命进行精确调整的是德威特（1671）。在称得上是第一份对期权类衍生品的正式分析中，德威特提出了一种方法，即基于被提名人的年龄来计算人寿年金的价值。按照现行标准，他的方法不算精细，但他使用的是当时第一份死亡率表。德威特假定，被提名人将根据下面的数据死亡。在每768个提名者中：
在第一个50年中每6个月将有6人死去；
在接下来10年中每6个月将有4人死去；
在接下来10年中每6个月将有3人死去；
在接下来7年中每6个月将有2人死去。
假设复利利率为4%，对768个死亡时间，他一一计算了其对应年金的现值，然后取算术平均值，即为年金的价格。德威特还指出，他的计算结果可能向下偏，这是因为存在我们现在所说的"逆向选择"问题：选择购买年金的人可能相对比较健康，因而比同龄人更加长寿。
虽然我们的回顾更注重思想的发展，而不是写思想发明者的传记。不过我忍不住想提一提，在1672年，也就是德威特出版他有关人寿年金的经典之作一年之后，他就被荷兰的革命暴徒公开绞死。毫无疑问，这是因为具有金融天才的德威特在担任政府大臣时太过耀眼。
德威特曾请教过约翰-范-瓦佛兰-郝德（1628年4月23日──1704年4月15日）。郝德根据1495个实际购买过年金的人的死亡数据，自己算出了年金价值。哈雷（1693）也设计了自己的计算公式。哈雷使用了与德威特不同的数据，两人的计算公式却得到了相同的结论。但哈雷构建了一个更为基础的解答方式。将于时间t终止的年金的现值为X［Σk=1，2，…，t（1/rk）］。证明：哈雷与德威特的公式是等同的
要从德威特的公式推导出哈雷的公式，首先我们要推出年金领受人在第t年死亡的概率qt与年金领受人在第t年存活的概率pt二者之间的关系。pt等于领受人在t+1，t+2，t+3…死亡概率之和。如果某人在第t年还活着，那么他肯定是在随后某一年死亡。因此，在第t年还活着的概率等于在第t年之后死亡的概率。设想一个具体的例子，年金领受人在第4年死亡。因此：
p1=q2+q3+q4
p2=q3+q4
p3=q4
解上述方程，我们可以得到q2=p1-p2，q3=p2-p3（假设p4=0，那么q4=p3-p4）。进而，我们得到：
qt=pt-1-pt
该等式的直观意义是：领受人在时间t死亡的概率等于在时间t-1存活的概率减去在时间t存活的概率。这两个概率产生差异的原因只能是领受人在时间t死亡。该等式的直观意义是：只有领受人在时间t还活着，他才能在该时间收到年金，因此时间t期望年金的现值等于pt（1/rt）。而各笔年金之和的现值就等于年金现值之和，这就是该等式的含义。
当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。
在第一个50年中每6个月将有6人死去；
在接下来10年中每6个月将有4人死去；
在接下来10年中每6个月将有3人死去；
在接下来7年中每6个月将有2人死去。
假设复利利率为4%，对768个死亡时间，他一一计算了其对应年金的现值，然后取算术平均值，即为年金的价格。德威特还指出，他的计算结果可能向下偏，这是因为存在我们现在所说的"逆向选择"问题：选择购买年金的人可能相对比较健康，因而比同龄人更加长寿。
虽然我们的回顾更注重思想的发展，而不是写思想发明者的传记。不过我忍不住想提一提，在1672年，也就是德威特出版他有关人寿年金的经典之作一年之后，他就被荷兰的革命暴徒公开绞死。毫无疑问，这是因为具有金融天才的德威特在担任政府大臣时太过耀眼。
德威特曾请教过约翰-范-瓦佛兰-郝德（1628年4月23日──1704年4月15日）。郝德根据1495个实际购买过年金的人的死亡数据，自己算出了年金价值。哈雷（1693）也设计了自己的计算公式。哈雷使用了与德威特不同的数据，两人的计算公式却得到了相同的结论。但哈雷构建了一个更为基础的解答方式。将于时间t终止的年金的现值为X［Σk=1，2，…，t（1/rk）］。证明：哈雷与德威特的公式是等同的
要从德威特的公式推导出哈雷的公式，首先我们要推出年金领受人在第t年死亡的概率qt与年金领受人在第t年存活的概率pt二者之间的关系。pt等于领受人在t+1，t+2，t+3…死亡概率之和。如果某人在第t年还活着，那么他肯定是在随后某一年死亡。因此，在第t年还活着的概率等于在第t年之后死亡的概率。设想一个具体的例子，年金领受人在第4年死亡。因此：
p1=q2+q3+q4
p2=q3+q4
p3=q4
解上述方程，我们可以得到q2=p1-p2，q3=p2-p3（假设p4=0，那么q4=p3-p4）。进而，我们得到：
qt=pt-1-pt
该等式的直观意义是：领受人在时间t死亡的概率等于在时间t-1存活的概率减去在时间t存活的概率。这两个概率产生差异的原因只能是领受人在时间t死亡。该等式的直观意义是：只有领受人在时间t还活着，他才能在该时间收到年金，因此时间t期望年金的现值等于pt（1/rt）。而各笔年金之和的现值就等于年金现值之和，这就是该等式的含义。
本文摘自《投资思想史》
当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。