1934年（2）

　　1851年，恩斯特-海因里希-韦伯（1795年6月24日──1878年1月26日）在《触觉感官与一般敏感性》（Der Tastsinn und das Gemeingefühl）一书中应用了伯努利的对数效用。该书成为试验心理学的奠基之作之一。在该书中，韦伯将人能觉察出的刺激强度的最小变化定义为"差别感觉阈限"或"最小觉差"。他认为，刺激强度的变化除以初始刺激强度得到的是一个常数（韦伯定律）。1860年，古斯塔夫-西奥多-费希纳（1801年4月19日──1887年11月18日）在《心理物理学纲要》（Elemente der Psychophysik）中用该定律解释：虽然人的大脑和身体看起来是分离的，但它们其实是对同一现实做出不同的反应。他认为，感觉量（大脑所经历的）的变化与韦伯定律中的常数成比例。

　　门格尔指出，凹性效用──就是现在所说的"边际效用递减"──并不足以解决广义形式的圣彼得堡悖论4。

　　门格尔指出，只要效用函数是有限的，圣彼得堡类型的赌博就存在，其期望效用是无限的。因此，许多经济学家认为，虽然效用有限仍是个有争议的问题，但有限性是一个合理效用函数存在的前提。

　　门格尔还分析了解决该悖论的另一个方法，该方法后来被行为经济学家重拾。即：个人倾向于完全忽略小概率事件产生的结果。该方法在很早之前由数学家布丰（1707年9月7日──1788年4月16日）于1777年在《或然算数试验》（Essai darithmétique morale）一文中提出。门格尔指出，人们容易低估极端事件的概率，可能是极小概率事件也可能是极大概率事件，从而高估中间事件的概率。

　　门格尔有关无界性的观察使得肯尼思-约瑟夫-阿罗（1965）提出，不是所有的不确定性结果都满足冯-诺伊曼和摩根斯坦公理（1947），因为只要效用函数被指定为有界的，或者有上界或者有下界，那么完整性公理和持续性公理都将被门格尔类型的圣彼得堡悖论打破。（见阿罗（1971）：《对不确定性下选择理论的探讨》（Exposition of the Theory of Choice under Uncertainty），载于《风险承受理论论文集2》，Markham，1971年，pp.44~89。）例如，我们可以想想这样两种赌博，第一个赌博明显优于第二个，但两个赌博的期望效用都是无限的。不过，这些异想天开的想法并不能难倒像保罗-安东尼-萨缪尔森这样的人。萨缪尔森（1977）安慰道：尽管这类赌博吸引了诸多有思想的试验，"但在现实生活中并不是很重要"。（见萨缪尔森（1977）：《圣彼得堡悖论：剖析与历史描述》（St.Petersburg Paradoxes：Defanged，Dissected，and Historically Described），载于《经济学文献学刊》，第15卷，第1期（1977年3月），pp.24~55。）然而，在不确定经济学的发展过程中，该悖论的确起了长期的、重大的作用，使得萨缪尔森不得不总结说："它在高等知识分子的脑海中拥有崇高的地位"。

　　萨缪尔森提出了一个更令人困扰的拒绝无界效用函数的问题，即便没有圣彼得堡悖论无限性的存在，该问题仍会出现。假设某人可以确定得到报酬X（X为金额较大的数值）。如果他的期望效用无上界，那么总会存在一个更大的数Y，使得即便得到的概率很低他也很想得到。无界效用即是非饱和性的一个极端形式。另一方面，在pp.209～211中，阿罗（1974）证明：如果效用函数U（X）单调递增，成凹性，U（0）有界，而且E（X）有界，那么E［U（X）］就是有界的。（见阿罗（1974）：《无界效用函数在预期效用最大化中的使用：回应》（The Use of Unbounded Utility Functions in Expected Utility Maximization：Response），载于《经济学季刊》第88卷，第1期（1974年2月），pp.136~138。再版于《肯尼思-阿罗文集：确定与不确定条件下的个人选择》第3卷，Harvard University Press，1984年。）因此，如果具有无穷期望价值的圣彼得堡式赌博在现实情况中不存在，那么即便是无上界的效用函数也不会存在问题。

　　

本文摘自《投资思想史》

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　　 当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。