1654年（2）
费马的答案
路径：7比1→7/8×56=49
在两位选手得分（5，3）情况下，接下来可能的结果为
（a a a） （a b a） （a b b） （b b a）
（a a b） （b a a） （b a b） （b b b）
其中，a表示第一个选手得一分，b表示第二个选手得一分。加粗的结果意味着第一个选手赢得了比赛。既然在8个可能的结果中有7个是A赢，那么A就应该得到49个金币，而B得到7个。
帕斯卡提出了另一种类似的解决办法，他使用的是反向递归动态规划方法。
帕斯卡的答案
反向递归
帕斯卡首先问到，如果在双方得分为（5，5）时比赛叫停。由于A和B两人都有平等的机会赢得56个金币，那么他们每人期望得到的是28个金币，赌注是平均分配（28，28）。从这儿往后推，如果得分为（5，4），再比一轮的话，那么一半的可能是（6，4），赌注分配为（56，0）；另一半的可能是（5，5），这种情况已经阐述，赌注分配为（28，28）。因此，如果得分是（5，4），A得到（1/2）×56＋（1/2）×28＝42个金币，B得到（1/2）×0＋（1/2）×28＝14个金币。再往后推一轮到得分为（5，3）的情况，同样的道理可以得到，A分配（1/2）×56＋（1/2）×42＝49个金币，B得到（1/2）×0＋（1/2）×14＝7个金币。2
帕斯卡还被誉为决策论的创始人。在他的《思绪》（Pensées）一文中（见《西方世界的伟大著作：帕斯卡篇》，特别是第3节《论下赌注的必然性》（Of the Necessity of the Wager），pp.205~217。），帕斯卡描述了他著名的"赌注"。他对是否相信上帝的分析十分缜密，让人觉得就应该相信上帝的存在。他说，假设有两种相互排斥的可能性。第一，如果世上没有上帝，那么相信上帝或者不相信上帝都无关紧要。第二，如果真的有上帝，那么相信上帝会为你带来永生于天堂的无限幸福，而不信上帝则带来葬身于地狱的无尽痛苦。这样，即便你主观地认为存在上帝的概率微乎其微，但只要这个概率大于零，那么你相信上帝所获得的期望收益将会是无穷大。当然，我们现在知道帕斯卡的推理存在严重的问题，因为他的结果取决于他对现实世界可能状态的判断。比如，他忽略了另外一种可能，就是即便存在上帝，信奉者也可能被送进地狱，因为没有人有足够的信息判断他是否真的相信上帝；而怀疑上帝存在的人，在确定的信息下拥有正确的观点从而可能上天堂。
尽管帕斯卡成绩显著，但还称不上是第一位决策理论家。在更早的时候，犹太法典《塔木得9q》（Kethuboth 9q）就提出，男人不能因为妻子婚前的性行为而与妻子离婚。原因在于，有可能是由于该男人的关系而使妻子发生了婚前性行为；即便不是前一种情况，妻子也可能是在并不情愿的情况下发生婚前性行为。总的来说，四种可能情况中只有一种值得男人与妻子离婚，不值得离婚的情况占了多数，因而法律上不允许。帕斯卡赌注可能是"施蒂格勒取名法则"的又一例证。因为在公元303年阿诺庇乌在其著作《反对异教徒》（The Case against the Pagans）中（第2卷第4章）就描述过类似的选择。
作为现代概率论产生的一个重大特征，帕斯卡也许是不自觉地同时运用了概率论的二元性：一方面，用概率来解释类似于抛硬币以及赌博游戏等物理过程。在这类过程中，概率可以无争议地确定（客观概率），犹如我们在点数问题中所看见的。另一方面，还可以用概率来解释不可重复事件。在这类事件中，人们对事件发生的概率大小往往存在较大争议（主观概率），犹如我们在帕斯卡赌注中看见的。因此，有人如萨维奇（1954）在《统计学基础》一书中就提出，利用本适合于非重复事件的主观概率使得人们无法在备选方案中做出理性选择。但是萨维奇的分析只在一种情况下成立，即针对备选方案的打赌是切实可行的，决定打赌结果的事件是可观测的。比如，我们就人死之后的结果进行打赌就是有问题的：即便相信死后没有生命的一方获胜，他也没办法在死后亲自接受赌注。
在20世纪后半叶，数字计算机对投资理论的进一步发展起到至关重要的作用。不管是利用数据库进行经验验证，还是通过数值分析解决数学问题，都需要计算机的帮助。我们其实在相当长的时间内使用了简易计算器，如公元前3000年人们使用的算盘。计算尺大约在1630~1632年就发明出来。在1642~1644年，为科学做出诸多贡献的帕斯卡当时只有20岁左右，他就成功发明了第一台数字计算机。帕斯卡的计算机是通过转动转盘来输入数字，通过齿轮来完成加减法。当你拨动数字时，里面的齿轮就会移动。运算结果显示在键盘上方的窗口。我们可以在巴黎的法国国立工艺学院看到帕斯卡签名的1652年版计算机。如果你到伦敦比较方便，那么你可以在南肯辛顿的科学博物馆看到该计算机的复制品。
当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。
路径：7比1→7/8×56=49
在两位选手得分（5，3）情况下，接下来可能的结果为
（a a a） （a b a） （a b b） （b b a）
（a a b） （b a a） （b a b） （b b b）
其中，a表示第一个选手得一分，b表示第二个选手得一分。加粗的结果意味着第一个选手赢得了比赛。既然在8个可能的结果中有7个是A赢，那么A就应该得到49个金币，而B得到7个。
帕斯卡提出了另一种类似的解决办法，他使用的是反向递归动态规划方法。
帕斯卡的答案
反向递归
帕斯卡首先问到，如果在双方得分为（5，5）时比赛叫停。由于A和B两人都有平等的机会赢得56个金币，那么他们每人期望得到的是28个金币，赌注是平均分配（28，28）。从这儿往后推，如果得分为（5，4），再比一轮的话，那么一半的可能是（6，4），赌注分配为（56，0）；另一半的可能是（5，5），这种情况已经阐述，赌注分配为（28，28）。因此，如果得分是（5，4），A得到（1/2）×56＋（1/2）×28＝42个金币，B得到（1/2）×0＋（1/2）×28＝14个金币。再往后推一轮到得分为（5，3）的情况，同样的道理可以得到，A分配（1/2）×56＋（1/2）×42＝49个金币，B得到（1/2）×0＋（1/2）×14＝7个金币。2
帕斯卡还被誉为决策论的创始人。在他的《思绪》（Pensées）一文中（见《西方世界的伟大著作：帕斯卡篇》，特别是第3节《论下赌注的必然性》（Of the Necessity of the Wager），pp.205~217。），帕斯卡描述了他著名的"赌注"。他对是否相信上帝的分析十分缜密，让人觉得就应该相信上帝的存在。他说，假设有两种相互排斥的可能性。第一，如果世上没有上帝，那么相信上帝或者不相信上帝都无关紧要。第二，如果真的有上帝，那么相信上帝会为你带来永生于天堂的无限幸福，而不信上帝则带来葬身于地狱的无尽痛苦。这样，即便你主观地认为存在上帝的概率微乎其微，但只要这个概率大于零，那么你相信上帝所获得的期望收益将会是无穷大。当然，我们现在知道帕斯卡的推理存在严重的问题，因为他的结果取决于他对现实世界可能状态的判断。比如，他忽略了另外一种可能，就是即便存在上帝，信奉者也可能被送进地狱，因为没有人有足够的信息判断他是否真的相信上帝；而怀疑上帝存在的人，在确定的信息下拥有正确的观点从而可能上天堂。
尽管帕斯卡成绩显著，但还称不上是第一位决策理论家。在更早的时候，犹太法典《塔木得9q》（Kethuboth 9q）就提出，男人不能因为妻子婚前的性行为而与妻子离婚。原因在于，有可能是由于该男人的关系而使妻子发生了婚前性行为；即便不是前一种情况，妻子也可能是在并不情愿的情况下发生婚前性行为。总的来说，四种可能情况中只有一种值得男人与妻子离婚，不值得离婚的情况占了多数，因而法律上不允许。帕斯卡赌注可能是"施蒂格勒取名法则"的又一例证。因为在公元303年阿诺庇乌在其著作《反对异教徒》（The Case against the Pagans）中（第2卷第4章）就描述过类似的选择。
作为现代概率论产生的一个重大特征，帕斯卡也许是不自觉地同时运用了概率论的二元性：一方面，用概率来解释类似于抛硬币以及赌博游戏等物理过程。在这类过程中，概率可以无争议地确定（客观概率），犹如我们在点数问题中所看见的。另一方面，还可以用概率来解释不可重复事件。在这类事件中，人们对事件发生的概率大小往往存在较大争议（主观概率），犹如我们在帕斯卡赌注中看见的。因此，有人如萨维奇（1954）在《统计学基础》一书中就提出，利用本适合于非重复事件的主观概率使得人们无法在备选方案中做出理性选择。但是萨维奇的分析只在一种情况下成立，即针对备选方案的打赌是切实可行的，决定打赌结果的事件是可观测的。比如，我们就人死之后的结果进行打赌就是有问题的：即便相信死后没有生命的一方获胜，他也没办法在死后亲自接受赌注。
在20世纪后半叶，数字计算机对投资理论的进一步发展起到至关重要的作用。不管是利用数据库进行经验验证，还是通过数值分析解决数学问题，都需要计算机的帮助。我们其实在相当长的时间内使用了简易计算器，如公元前3000年人们使用的算盘。计算尺大约在1630~1632年就发明出来。在1642~1644年，为科学做出诸多贡献的帕斯卡当时只有20岁左右，他就成功发明了第一台数字计算机。帕斯卡的计算机是通过转动转盘来输入数字，通过齿轮来完成加减法。当你拨动数字时，里面的齿轮就会移动。运算结果显示在键盘上方的窗口。我们可以在巴黎的法国国立工艺学院看到帕斯卡签名的1652年版计算机。如果你到伦敦比较方便，那么你可以在南肯辛顿的科学博物馆看到该计算机的复制品。
本文摘自《投资思想史》
当人们更多地关注财富传奇故事时，往往在浮躁的喧嚷中忽略了故事背后的思想，从而落入了只见树木不见森林的陷阱。然而，投资归根到底是思想者的活动。而这部《投资思想史》有如一股清泉，令人耳目一新。马克-鲁宾斯坦等编著的《投资思想史(珍藏版)》从1202年斐波那契的《算经》开始写起，直至2005年的行为金融思想，时间跨度800余年，分为古代时期、古典时期和现代时期。