1 V(N)
G =lim - log______ ------------(资金增长公式，其中N趋无穷大，V(0)表示本金，V(N)表示N次之后的金额)
N V(0)
其中 是n次投注之后的资金值， 是首次资金，假设每次投资用了 比例的资金，赢了W次，输了N次，那么，上述方程可以转化为：
G＝P*log(1+L)+(1-p)log(1-L)
注，有更多的方程公式，由于无法贴上来，小弟只好放弃，代以更加简化的东西了，roy注
这个实际上就是 的期望方程，p就是赢的概率，1－p自然是输的概率，要想盈利，自然就是求上述公式的最大值的一向必要条件了，可以推算（俺就不详细说了，求导就是了）出来 ，这里说明了一个关键点，想盈利，必须要有50%以上的胜率，否则一切白忙活，这个是不是非常好理解呢―――这个其实也就是kelly方程里面所隐含的告诉我们的一个道理，这里就顺便提了出来。
回到kelly方程本身，那么，怎么从资金增长方程变化到kelly方程呢？实际上如何使得G最大化了，或者我们问，在那些条件下G能够获得较好的期望值，到了这里就头大了，kelly先生的论文不是很长，推导呢俺勉强也能看懂一点，但是就是公式太多了，公式太过于难于描述了，不过还好，kelly先生还是很大方的，有兴趣的朋友可以在网上找到他的论文，google一下就是了。
这样的一些公式推导或许对很多人来讲都是比较困难的，索性我们不关注这个，我把我自己的留意点说说，公式推导当中我们必须假定：庄家给出的赔率是根据事实的可能概率来制定的，即 p*o=1 但是很显然，庄家从来不会给出一个p是可以通过o简单的计算得到的。Kelly在文中提到，如果把o当作是庄家给出的"公平赔率"，那么，我们倒是可以得到一个结果，那就是是的最大化资金方程得到最小值，即归0。嘿嘿，这里面就比较搞了，文中要求的是需要有一个公平的p，但是不希望有一个公平的o；这两者矛盾嘛？不矛盾，庄家给出的总归不是公平的o的，因为庄家知道公平的p是什么但是庄家不会show给我们看，这里就告诉我们，如果仅仅是依靠庄家给出的o来猜测那个p或者计算那个p，多半我们会比较惨；kelly还提示我们另外一个好玩的东东：在公式推导的过程中我们接受一种事实，这个事实就是每个投注的人总是忽略那些所谓的信息灵通或者内幕消息的投注的――模型可不能最大化假球之类的出现的时候的资金。这也告诉我们，如果你知道假球，恭喜你先生，你不用考虑什么资金控制了，倾尽全部就是了，保证利益最大化。我不知道多少人看过kelly先生的这个论文和这里面的一些提醒，但是我还未曾在其原文之外的地方看见有人给出这些信息，我想，这里面非常关键的一个就是，公式只是死的，不能仅仅关注公式本身，你还应该知道公式的缺陷和公式的条件。说道条件，天，还有一个重要要素，那就是假设所有的投注金额都从输家转移到赢家，那庄家吃什么？ 翻译一段kelly先生的结论来和大家共享（错误之处请谅，最好是能够指出帮忙纠正，先谢过了）
在这里介绍的赌徒（原文如此）是和一般的赌徒有着本质的明显区别的(呵呵，看来是聪明博球者，roycaich自己的见解，下面在翻译时将根据个人的理解将涉及相关的人物代称更改为博球者和赌徒，博球者就是指合理利用kelly方程管理自己的人，赌徒就是指那些普通的) ，在每次投注的时候他期望获得logV（V为返回资金）的最大值，其原因跟用来管理资金的方程无关，而仅仅是和log函数相关，能够将大数定理应用于上面的该函数能够被运用于重复投注中。假设条件不同，例如，他老婆只允许他每周投注1元并且不允许他的回报用于再投资，那每个投注时他都期望赌资获得最大值，在资金最大化的情况下每次都把他所有的钱投入到投注中。一种可能的情况是，如果博球者与众不同的分配他的资金，他能够领先于其它赌徒。――这段话我想描述了一个事实，要有条件，然后还要理解并遵守那些条件，这样才能够体现kelly方程的意义。Roycaich注
需要注意的是，这里我们展示了某种可能，那些（采用我们的策略）管理资金的博球者的获益将会高于那些和我们（的策略）不同、依旧对于每个接受到的符号采用固定比例来管理资金的赌徒们的获益。如果需要，我们的投资策略可以被证明将是最为出色的，不过（文中）并没有给出展示。
尽管这里采用的模型是从实际的博彩活动中总结出来的，模型当然同样适用于生活中的其它经济领域。定律的必要条件在于获利资金的可再投资性和投资资金（下注的注额）在不同投资类别下的可灵活变更性，定理的应用渠道应该和投资者实际的投资资金等现实渠道相适应。
让我们概要的总结一下本论文的成果：如果投注者通过通讯渠道能够投注并且每次都将通过某一实体将其一定比例的资金投入，他的资金将指数增长或者下降。如果（博彩公司的，roycaich注）赔率是和交易实体发生的可能性概率相一致的（例如，等同于可能概率的倒数），（资金增值的）指数增长率的最大值就等同于交易的频率；如果赔率并不公平，例如，和这个实体事件发生的概率不一致而是和其它的某些可能性概率相一致，指数增长率的最大值就会比那些的比没有总量等于信息交易频率的渠道先进的要大；万一存在什么"内幕消息"之类的事情发生，方程就棘手无策，只剩下理论上的空架子了。（这一段翻译得不好，还要向朋友请教一下进行校对，暂时先上来，后面改，朋友们也可以指正校对）
再一次提醒各位，本人水平有限，可能翻译得不好，只是提供参考。这里顺便借用一下几位名家的话来帮助我们理解kelly方程：
1）（kelly方程）将资金的增长律渐进线最大化
2）渐进线式的，（kelly方程）将达到一个目标的时间最小话
3）几乎可以肯定的，（kelly方程）相对于那些有本质不同的策略而言在长期的运行中做得更好
上面三句话是Hausch, Lo, and Ziemba (1994)提到的，这个应该是从学术化的角度来理解的。
完kelly的结论了，现在我们来讨论一下这里面的一些问题，如何应用不同的方程，如何结合投注，我想，这里个人的观点主要是抛砖。
第一个问题就是那些公式中的P了，这个到底是什么概率呢？来看看基础方程，第一个印象是非常直观的，就是P*O>1,O是菠菜公司开出的赔率，这个简单直观的东西告诉我们，这个p是是跟o有关系的，也提醒我们，实际上p并不容易计算，kelly公式也不是轻轻易易就能够套在我们的投注上的。实际上，我个人还是坚持认为p是一个事件即将发生的可能性概率，无他，是因为在投注活动中，球赛的结果基本上还是符合其长期的统计规律的，这点我想在possion公式衍生出来的模型，ELO模型等等都得到了验证，所以我在上面解释四个公式的时候认为基础方程中的p跟赔率相关，举一个简单的例子，博彩公司对于某队获胜的赔率是1.5，你自己的胜率是65%，那么很明显，无论你怎么管理你的资金，你都无法盈利，这个例子浅显的告诉我们，那些说什么认为达到65%胜率的人就是高手其实是不准确的，胜率是要跟赔率相关的，也就是说如果一个人能够在赔率达到3的情况下保持胜率40%,那他就是了不起的高手了。我想，这个就是一个非常直观的高手定义了：所谓高手，就是能够稳定的从这个市场上赢取利润，并不在乎其胜率是多少，高高低低只是障眼法而已。关于这个，mso上高阳兄的看法应该是相同的，在后面会有引用